创新视角下的立体几何最值问题

包东妹

立体几何是高中数学的重要知识模块之一，历年来的全国高考卷在解答题中必考查一道立几题，常规的考查方式是第一问考查平行或垂直的证明，多为用综合法直接证明，第二问求线线角、线面角或面面角，可以通过建系用空间向量求解，也可以用综合法求解，属中档题。2020年的全国新高考卷（供山东、海南等地使用）考查了立体几何中的最值问题，体现了立体几何命题的一个趋向，值得重视。本文对立体几何中这类求最值问题的创新题进行解析，为2021届高三数学立体几何备考提供一个参考。

创新1：知识交汇处的立几最值问题，注重综合

在函数、三角、数列、解析几何等章节中，经常会遇到求最大、最小值的计算问题，我们最常用的方法就是建立目标函数，利用图像、单调性、导数、不等式等工具进行求解。而立体几何中“点”的运动常常使得角的大小、距离的长短等出现“不确定性”，从而产生了最值问题，考点出现在几何和代数的交汇处，提示我们要注重知识间的综合和相互转化，化空间为平面，搭建沟通几何与代数的桥梁。

点评：本题涉及的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，也可以对根号下的部分构造函数求导求最值，这是将几何与代数进行融合的一类题型，求解策略是建立目标函数，利用函数思想或不等式的方法求解。

创新2：数学文化背景下的立几最值问题，注重情境