仿射秩最小化问题的一种解法❋

王展梁，刘新国

(中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100)

近年来，基于仿射变换下的低秩矩阵恢复问题在协同过滤[1]、图像处理[2]、量子成像[3]等多个领域有重要应用，发展求解此问题的高效数值解法是当前数值最优化领域的研究热点之一。仿射秩最小化问题是指下述矩阵最优化问题

(1)

或者其拉格朗日形式

(2)

式中：X∈Rm×n为要恢复的目标矩阵;b∈Rp为观测数据;A：Rm×n→Rp为仿射变换;参数ε≤0反映噪声水平；λ>0为正则化参数。当仿射变换A为矩阵的取样算子时，仿射秩最小化问题就转化为矩阵填充问题[4]。

Wen等[7-9]提出了一种基于矩阵分解的建模方法，避免了对矩阵进行奇异值分解，但事先需要对矩阵的秩进行合理的预测。Mohan等[10]利用矩阵的Schatten-p范数来代替秩函数，提高了模型的恢复能力。本文用下述新的松弛模型来求解秩最小化问题

(3)

其中γ≤1，并且发展了模型(3)的数值解法，证明了数值算法的收敛性，数值实验表明了模型(3)相较于核范数模型的优越性。

1 算法

下述引理用于得到模型(3)的等价形式。

引理1设X∈Rm×n，γ≤1，则

(4)

证明 由矩阵行列式的性质可知

由引理1，可得到模型(3)的如下等价形式

(5)

定义1对于下半连续的正常函数g(x)：R→R及α>0，其邻近算子Proxαg：R→R定义如下：

(6)

在本文中，我们讨论y为矩阵奇异值的情况，因此只需要对y≤0进行考虑。下面的三个定理给出了模型(5)中罚函数的邻近算子的相关性质及其显式表达式。

定理1设g(x)=log(x+γ)，γ≤1，α>0，g(x)的邻近算子满足如下性质：

①∃c>0，∀y∈[0,c]，Proxαg(y)=0。

②当y→+时，对∀z∈Proxαg(y)，有z→+且

③当y1

②当y→+时，对∀z∈Proxαg(y)，z必为f(x)的一个驻点，即由于则，并且

③当y1

(z2-y2)(y2-y1)

对上述不等式化简……