Bernoulli-Euler微梁振动特性的尺寸效应

周 博, 王志勇, 赵 飞, 周世琛, 薛世峰, 林英松

(1.中国石油大学(华东)储运与建筑工程学院,山东青岛 266580; 2.中国石油大学(华东)石油工程学院,山东青岛 266580)

随着国际上微机电系统的快速发展,对微结构的力学性能分析成为了国际研究的热点。微梁在微机电系统中被广泛应用,比如微传感器、微驱动器和微开关。当金属或复合材料构件的尺寸减小到微纳米范围时,其力学性能随着几何尺寸与特征尺寸的改变而表现出较强的尺寸效应[1-2]。经典弹性理论将物体抽象为均匀连续介质模型,忽略了材料内部微结构对其力学性能的影响,无法描述微结构的变形特点及尺寸效应。Toupin[3]提出的修正偶应力理论,在弹性体的本构关系和应变能密度中引入材料尺度参数,实现了对微结构尺寸效应的描述。Park 等[4]基于修正偶应力理论,通过材料尺度参数捕捉边界层效应,解析求解了一个剪切问题。Armagan等[5]基于修正偶应力理论对功能梯度夹层微梁的弯曲、屈曲和自由振动进行了分析。Nguyen等[6]考虑尺寸效应和速率效应,建立了应变梯度黏塑性本构模型,描述了微米尺度金属的时效行为。贺丹等[7]考虑弯曲刚度的尺寸效应,基于修正偶应力理论建立了适用于各种边界条件的微尺度Euler梁模型,用于求解微尺度梁的弯曲和稳定问题。周博等[8]研究了Timoshenko 微梁的挠度、转角和应力的尺寸效应,分析了Poisson 比对Timoshenko微梁力学行为及其尺寸效应的影响。郑雪瑶等[9]基于修正偶应力理论推导了梁的变形能计算公式,得到了反映尺寸效应的量纲归一化刚度公式并利用最小势能原理研究了Euler-Bernoulli 微梁,得到了反映尺寸效应的量纲归一化挠曲线方程和量纲归一化最大应力方程。康泽天等[10]建立了微板的动力学模型,研究了正交各向异性功能梯度四边简支微板的自由振动行为。Zhou等[11]建立了黏弹性功能梯度(FG) Timoshenko微梁的尺寸依赖连续模型。Ke等[12-13]求解了功能梯度板的动力学问题。Karimipour等[14]研究了微环面板的尺寸依赖行为。Liang等[15]提出一种考虑泊松效应和弱非局部应变梯度弹性效应的Bernoulli-Euler梁模型。Attia等[16]研究了小尺寸对自由振动的影响。Dai等[17]提出一种非线性模型描述悬臂微梁的共振特性,并对其线性和非线性弹簧结构的定向动态响应问题进行研究。张大千等[18]对微板进行了热稳定分析。刘建林等[19]探究了微纳米尺度下线弹性悬臂梁受集中载荷作用下的大变形问题。这些关于微梁力学特性尺寸效应方面的研究,主要是针对特定截面形状微梁结构进行的,且大多忽略了泊松系数对微梁力学行为及其尺寸效应的影响。笔者基于修正偶应力理论,推导任意截面形状Bernoulli-Euler微梁的弯曲刚度、变形能等基本变量的偶应力理论表达式,利用Hamilton变分原理建立任意截面形状Bernoulli-Euler微梁的偶应力理论动力微分方程。研究任意截面形状Bernoulli-Euler微梁弯曲刚度的尺寸效应。

1 修正偶应力理论

Yang等[5]提出了修正偶应力理论。物体内的任一物质点有6个自由度,包括3个平动自由度和3个转动自由度。3个平动自由度用位移矢量ui表示,3个转动自由度用转动矢量θi表示。转动矢量和位移矢量的关系为

(1)

式中,eijk为置换张量。

描述物体自由度和变形间关系的几何方程表示为

(2)

(3)

式中,εij和χij分别为应变张量和曲率张量。

在小变形情况下各向同性弹性材料的本构方程为

σij=λεkkδij+2Gεij,

(4)

mij=2l2Gχij.

(5)

其中

式中,σij和mij分别为应力张量和偏斜偶应力张量;λ和G为拉梅系数;l为反映尺寸效应的材料参数,称为材料特征尺寸;E和μ分别为弹性模量和泊松系数。

弹性体的变形能可表示为

(6)

式中,Ω为弹性体体域;dV为体积微元。

2 动力学模型建立

2.1 基本变量描述

Bernoulli-Euler梁理论认为梁截面在变形后仍保持为平面,且垂直于变形后的梁轴线,只是绕截面内的某一轴线旋转了一个角度。在计算过程中略去剪切变形,即假设只有弯曲变形,导出的应力和变形的计算公式对于细长梁是正确的。

图1为分布载荷作用下的Bernoulli-Euler梁,x轴与梁的轴线重合,梁的截面中性轴与y轴重合,分布载荷集度为q(x,t)。

图1 横向载荷作用下的Bernoulli-Euler梁Fig.1 Bernoulli-Euler beam under transverse load

Bernoulli-Euler梁位移场可表示为

(7)

式中,u、v、w分别为x、y、z方向的位移分量。

将式(7)代入式(1),得到转动分量

(8)

根据式(7)和(2),将Bernoulli-Euler梁的非零应变分量表示为

(9)

根据式(8)和(3),将Bernoulli-Euler梁的非零曲率分量表示为

(10)

将式(8)代入式(4),得到Bernoulli-Euler梁的非零应力分量,即

(11)

将式(10)代入式(5),得到Bernoulli-Euler梁的非零偏斜偶应力分量,即

(12)

将式(9)～(12)代入式(6),通过积分运算,得到Bernoulli-Euler梁的变形能,即

(13)

其中

式中,K为Bernoulli-Euler梁的偶应力理论弯曲刚度;A为梁截面面积;Iy为梁截面对其中性轴y轴的惯性矩。

Bernoulli-Euler梁的外载荷做功表示为

(14)

Bernoulli-Euler梁的动能可近似表示为

(15)

式中,ρ为梁密度。

2.2 动力微分方程

利用Hamilton原理推导Bernoulli-Euler微梁动力微分方程。Hamilton原理可描述为具有理想约束的完整系统在任一时间间隔[t0,t1]内,从初始位置到终止位置的所有可能运动中,真实运动的哈密顿作用量的变分等于零,它是一种求解动力学问题的变分原理。对于Bernoulli-Euler梁,Hamilton原理表示为

(16)

式中,δT、δU和δW分别为Bernoulli-Euler梁的动能变分、变形能变分和外力功的变分。

对Bernoulli-Euler梁的变形能方程式(13)进行变分运算,得到

(17)

对外载荷做功方程式(14)进行变分运算,得到

(18)

对Bernoulli-Euler梁的动能方程式(15)进行变分运算,得到

(19)

根据式(17)～(19),得到

δT-δU+δW=

(20)

由式(20)可知,若使Hamilton原理即式(16)对任一时间间隔[t0,t1]都成立,应满足

(21)

式(21)为描述Bernoulli-Euler微梁的挠度、载荷集度间微分关系的动力微分方程。

3 尺寸效应

3.1 弯曲刚度比

在材料特征尺寸l=0情况下,根据式(13)中描述的Bernoulli-Euler梁的偶应力理论弯曲刚度K,得到Bernoulli-Euler梁的经典弹性理论弯曲刚度,表示为

K0=(λ+2G)Iy.

(22)

基于式(22)将偶应力理论弯曲刚度和经典弹性理论弯曲刚度的比值表示为

(23)

其中

式中,ry为截面对中性轴惯性半径;l为材料特征尺寸。

惯性半径ry是Bernoulli-Euler梁的重要几何特征尺寸,在截面面积相同的情况下,截面惯性半径越大,其惯性矩越大,弯曲刚度越大。

3.2 固有频率比

令载荷集度函数q(x,t)=0并将其代入式(21),得到Bernoulli-Euler微梁的自由振动方程,表示为

(24)

根据分离变量法,设自由振动方程式(24)的解为

w(x,t)=[Bcos(ωt)+Csin(ωt)]Φ(x).

(25)

式中,ω为固有频率;Φ(x)为振型函数;B、C为待定系数。

将式(25)代入式(24),经简化整理得

(26)

其中

微分方程式(26)的通解为

Φ(x)=C1sin(βx)+C2cos(βx)+C3sinh(βx)+

C4cosh(βx).

(27)

式中,C1、C2、C3、C4为待定系数。

以简支梁为例,其左右两端挠度为零,弯矩为零,边界条件可描述为

(28)

式中,L为简支梁长度;Φ为简支梁的振型函数。

根据式(27)和(28),可得

C2=C3=C4=0,C1sin(βL)=0.

(29)

根据式(27)和(29)可知,若Φ(x)存在非零解,必有C1≠0,因此

sin(βL)=0.

(30)

求解式(30),得

(31)

根据式(26)和式(31),得简支梁的偶应力理论固有频率

(32)

令材料特征尺寸l=0,根据式(32)、(22)和(23),可以得到Bernoulli-Euler简支梁的经典弹性理论固有频率,即

(33)

根据式(33)、(22)和(23),可以将简支梁的偶应力理论固有频率和经典弹性理论固有频率的比值表示为

(34)

3.3 尺寸效应分析

图2 不同泊松系数下弯曲刚度与惯性半径间关系Fig.2 Relation between bending stiffness and inertial radius with different Poissons ratio

图2为不同泊松系数时,Bernoulli-Euler梁的偶应力理论弯曲刚度与截面惯性半径间的关系。其纵坐标为Bernoulli-Euler梁的偶应力理论弯曲刚度和经典弹性理论弯曲刚度的比值,横坐标为截面惯性半径与材料特征尺寸的比值。由图2可知:当惯性半径与材料特征尺寸比值较小时,随着惯性半径与材料特征尺寸比值增加,偶应力理论弯曲刚度与经典弹性理论弯曲刚度比值逐渐减小,Bernoulli-Euler微梁的弯曲刚度特性具有明显的尺寸效应;由图2可以看出,当惯性半径与材料特征尺寸比值小于2时,随着横坐标增加,Bernoulli-Euler梁的偶应力理论弯曲刚度与经典弹性理论弯曲刚度极速下降,之后缓慢下降,并最后趋于平缓,尺寸效应变得不明显、可以忽略;Bernoulli-Euler梁的泊松系数越小,惯性半径对弯曲刚度的影响越大、弯曲刚度特性的尺寸效应越明显。

图3为不同惯性半径与材料特征尺寸比值时,Bernoulli-Euler微梁的偶应力理论弯曲刚度和泊松系数间的关系曲线,其纵坐标为偶应力理论弯曲刚度和经典弹性理论弯曲刚度比值。由图3可知:Bernoulli-Euler梁的偶应力理论弯曲刚度与经典弹性理论弯曲刚度比值随着泊松系数增大而减小;惯性半径与材料特征尺寸比值越大,泊松系数对弯曲刚度及其尺寸效应的影响越小。

图3 不同惯性半径下弯曲刚度与泊松系数间关系Fig.3 Relation between bending stiffness and Poissons ratio with different inertial radius

图4为泊松系数等于0.45、截面面积相同,截面形状分别为矩形(高宽比2)、箱形(外高宽比2,内外高比0.8,内外宽比0.8)、圆形、圆环(内外径比0.8)时,Bernoulli-Euler微梁的偶应力理论弯曲刚度和截面面积间的关系曲线,其纵坐标为偶应力理论弯曲刚度和经典弹性理论弯曲刚度比值,横坐标为截面面积的平方根与材料特征尺寸比值。由图4可知:Bernoulli-Euler微梁的偶应力理论弯曲刚度与经典弹性理论弯曲刚度的比值随着截面面积增大而减小且逐渐趋近于1;截面形状对Bernoulli-Euler微梁的弯曲刚度及其尺寸效应有较大影响。

图4 不同截面形状下弯曲刚度与截面面积间关系Fig.4 Relational curves between bending stiffness and cross section area with different section shape

图5为内外径比为0.5的圆环截面Bernoulli-Euler微梁,在不同泊松系数时,偶应力理论弯曲刚度与截面面积间的关系曲线,其纵坐标为偶应力理论弯曲刚度与经典弹性理论弯曲刚度比值,横坐标为横截面面积的平方根与材料特征尺寸比值。由图5可知:Bernoulli-Euler梁的偶应力理论弯曲刚度与经典弹性理论弯曲刚度比值随着截面面积增大而减小且逐渐趋近于1;Bernoulli-Euler微梁的泊松系数越小,截面面积对偶应力理论弯曲刚度的影响越大、尺寸效应越明显。

图5 不同泊松系数下弯曲刚度与截面面积关系Fig.5 Relation between bending stiffness and cross section area with different Poissons ratio

图6 不同泊松系数下固有频率与惯性半径关系Fig.6 Relation between natural frequency and inertial radius with different Poissons ratio

图6为不同泊松系数时,Bernoulli-Euler微梁的固有频率和截面惯性半径间的关系曲线,其纵坐标为Bernoulli-Euler梁的偶应力理论固有频率和经典弹性理论固有频率比值,横坐标为截面惯性半径和材料特征尺寸比值。由图6可知:当惯性半径与材料特征尺寸比值较小时,随着惯性半径与材料特征尺寸比值增加,偶应力理论固有频率与经典弹性理论固有频率比值逐渐减小,Bernoulli-Euler梁的固有频率特性具有明显的尺寸效应;由图6可以看出,当惯性半径与材料特征尺寸比值小于2时,随着截面惯性半径和材料特征尺寸比值增加,Bernoulli-Euler梁的偶应力理论固有频率与经典弹性理论固有频率比值极速下降,之后缓慢下降,最后趋于平缓,尺寸效应变得不明显,可以忽略;Bernoulli-Euler梁的泊松系数越小,惯性半径对固有频率的影响越大,固有频率特性的尺寸效应越明显。

图7为不同惯性半径与材料特征尺寸比值时,Bernoulli-Euler微梁的偶应力理论固有频率和泊松系数间的关系曲线,其纵坐标为偶应力理论固有频率和经典弹性理论固有频率比值。由图7可知:Bernoulli-Euler梁的偶应力理论固有频率与经典弹性理论固有频率的比值,随着泊松系数的增加而减小;惯性半径与材料特征尺寸比值越大,泊松系数对固有频率的影响越小。

图8为泊松系数等于0.2、截面面积相同,截面形状分别为矩形(高宽比2)、箱形(外高宽比2,内外高比0.8,内外宽比0.8)、圆形、圆环(内外径比0.8)时,Bernoulli-Euler微梁偶应力理论固有频率和截面面积间的关系曲线,其纵坐标为偶应力理论固有频率和经典弹性理论固有频率的比值,横坐标为截面面积的平方根与材料特征尺寸比值。由图8可知:Bernoulli-Euler微梁的偶应力理论固有频率与经典弹性理论固有频率比值随着截面面积增大而减小且逐渐趋近于1;截面形状对Bernoulli-Euler微梁偶应力理论固有频率及其尺寸效应有较大影响。

图8 不同截面形状下固有频率和截面面积间关系Fig.8 Relation between natural frequency and cross section area with different section shape

图9为圆形截面Bernoulli-Euler微梁在不同泊松系数时偶应力理论固有频率与截面面积间的关系曲线,其纵坐标为偶应力理论固有频率与经典弹性理论固有频率比值,横坐标为截面面积的平方根与材料特征尺寸比值。由图9可知:Bernoulli-Euler梁的偶应力理论固有频率与经典弹性理论固有频率比值随着截面面积增大而减小且逐渐趋于1;Bernoulli-Euler微梁的泊松系数越小,其截面面积对偶应力理论固有频率的影响越大,尺寸效应越明显。

4 结 论

(1)当Bernoulli-Euler微梁截面惯性半径与材料特征尺寸比值较小时,Bernoulli-Euler微梁的偶应力理论弯曲刚度与经典弹性理论弯曲刚度的比值,随着惯性半径增加而减小,表现出明显的尺寸效应;当惯性半径与材料特征尺寸比值小于2时, Bernoulli-Euler梁的偶应力理论弯曲刚度与经典弹性理论弯曲刚度呈现极速下降趋势,之后缓慢下降,并最后趋于平缓,尺寸效应变得不明显并可以忽略。

(2)泊松系数是影响Bernoulli-Euler微梁动力学特性及尺寸效应的重要因素,偶应力理论弯曲刚度和偶应力理论固有频率均随着泊松系数增大而减小;泊松系数越小,Bernoulli-Euler偶应力理论弯曲刚度和偶应力理论固有频率的尺寸效应越明显。

(3)截面形状对Bernoulli-Euler微梁的偶应力理论弯曲刚度、偶应力理论固有频率、弯曲刚度的尺寸效应和固有频率的尺寸效应均有明显影响。