多项分数阶非线性微分方程的数值方法

乔 智，赵维加，黄健飞

(1. 扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002； 2. 青岛大学数学与统计学院，山东青岛266071)

分数阶微积分[1]是数学的一个重要的分支，距今已经有300多年的历史。近年来，分数阶微积分算子的非局部性使得分数阶微分方程在建模复杂动力系统和材料方面的应用越来越广泛，比如各种黏弹性材料[2]、反常扩散[3-4]、分形理论[5]、化学和生物化学[6]。与整数阶微分方程相比，分数阶微分方程的物理意义更清晰，模型更简单；但是，精确求解分数阶微分方程通常比较困难。对于一些非线性分数阶问题，甚至不可能获得其精确解，因此，研究者广泛设计和使用数值方法来求解分数阶微分方程。

目前，许多论文研究了分数阶常微分方程数值方法。早在1997年，Diethelm[7]对一类分数阶常微分方程构造了基于求积公式的隐格式，并给出了严格的误差分析。这是公认的分数阶微分方程数值方法领域比较早的工作之一。随后，Edwards等[8]研究了线性多项分数阶微分方程的数值解，但是没有考虑非线性多项分数阶微分方程的情形。El-Mesiry等[9]给出了求解非线性多项分数(任意)阶微分方程的数值格式，只通过数值实验来验证格式的计算效果。Kumar等[10]采用积分方程的思想，针对一类分数阶常微分方程设计了一个高阶格式，数值实验表明该方法有较高的精度。Lin等[11]采用生成函数法推导出求解分数阶常微分方程的高阶近似，证明了这些方法的可解性、收敛性和稳定性，但是这些方法只能用来求解含有一个分数阶导数项的方程。……