滞后型测度泛函微分方程的Φ-有界变差解*

李宝麟，丁利波

(西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)

1 问题的提出

为了求解微分方程，1957年Kurzweil首次提出了广义常微分方程理论[1].由英国数学家Kurzweil和捷克数学家Henstock定义的Henstock-Kurzweil积分(简称为H-K积分)包括Newton积分、Riemann积分和Lebesgue积分，H-K积分是处理高度无限振荡函数的有效工具.Φ-有界变差函数理论[2-3]是有界变差函数理论的发展与推广，学者对Φ-有界变差函数理论进行了比较广泛的讨论.例如，李宝麟等首次将Φ-有界变差函数理论与Kurzweil方程理论结合起来，建立了Kurzweil方程的Φ-有界变差解的存在性定理[4]，然后建立了一类脉冲微分系统Φ-有界变差解的局部存在性定理[5]；肖艳萍等[6]建立了一类不连续系统的Φ-有界变差解.滞后型测度泛函微分方程是泛函微分方程理论的一个分支，Federson等[7]建立了滞后型测度泛函微分方程

Dy=f(yt,t)Dg,

(1)

其等价的积分方程为

(2)

并建立了在一定条件下方程(2)与广义常微分方程的等价关系.(1)式中Dy，Dg分别表示函数y和g的分布导数；(2)式右端积分是关于不减函数g的Kurzweil-Stieltjes积分.

笔者将讨论滞后型测度泛函微分方程初值问题

(3)

2 预备知识

定义1[8]2-3称函数U:[a,b]×[a,b]→Rn在[a,b]上是Kurzweil可积的，如果存在I∈Rn及正值函数δ:[a,b]→R+，使得对于[a,b]上的任何δ-精细分划

D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k},

其中τi∈[αi-1,αi]⊂(τi-δ(τi),τi+δ(τi)), 有

设Φ(u)是对于∀u≥0定义的连续不减函数，且满足Φ(0)=0.对于∀u>0，Φ(u)>0，假定Φ(u)满足下列条件:

(C1)存在u0,L>0，使得对于∀0

定义2[2]设[a,b]⊂R,-∞

称VΦ(x;[a,b])为函数x(t)在[a,b]上的Φ-变差.

引理1[2]若Φ(u)满足条件(C1)和(C2)，则BVΦ([a,b],Rn)点列按Φ-范数收敛等价于Φ-变差收敛.

假定f，g满足以下条件：

(H1)存在正值函数δ(τ):[t0,+∞)→R+，使得对于∀τ∈[u,v]⊂(τ-δ(τ),τ+δ(τ))⊂[t0,+∞)及y∈T，有

‖f(yτ,τ)(g(v)-g(u))‖≤Φ(|h(v)-h(u)|).

(4)

(H2)对于∀τ∈[u,v]⊂(τ-δ(τ),τ+δ(τ))⊂[t0,+∞)及x,y∈T,有

‖f(xτ,τ)-f(yτ,τ)‖(g(v)-g(u))≤ω(‖xτ-yτ‖)Φ(|h(v)-h(u)|).

(5)

其中：h:[t0,+∞)→R，是不减函数；ω:[0,+∞)→R，是连续的增函数，且ω(r)>0,r>0,ω(0)=0.