滑块碰撞动力学与圆周率的关联1)

李开玮

(广东理工学院工业自动化系，广东肇庆526100)

滑块碰撞是牛顿力学中常见的问题，一般通过动量守恒和能量变化的关系去研究碰撞过程；而圆周率π 是几何数学的问题，为圆的周长与直径之比，历史上我国数学家刘徽通过割圆术算出π 的小数点后第5 位3.14159，之后数学家们计算出的小数点后位数越来越多[1-2]。π 的数字为：3.14159265358979-323846264338327950288419716939937510···，滑块碰撞与这两者看起来毫无联系，但有趣的是，作者在研究碰撞问题时，发现滑块的碰撞次数与π 极其相似，并分析了它们的内在关联。

1 问题来源

如图1 所示，水平光滑的地面上放置小木块m，大木块M，左端是固定的墙壁，初始时刻m静止，M以初速度v0向左运动，将与m发生碰撞，之后m获得速度向左运动，将与墙壁发生碰撞反弹，所有碰撞均没有动能损失，求碰撞次数。

图1 问题示意图

解析：首先考虑最简单情况，若两滑块质量相等m=M，则M向左运动第一次与m碰撞，根据动量守恒和能量守恒，将发生速度传递，接下来m以v0向左运动与墙壁第二次碰撞，速度反向向右，大小不变，之后向右运动，与M第三次碰撞，m停止，M以v0向右运动。总碰撞次数为3。

接下来讨论滑块质量不相等的情况，设M/m=k，以水平向左为正方向，为了描述的需要，称两滑块之间的碰撞为碰撞，称m 与墙壁的碰撞为反射，设第n 次碰撞(包括反射) 后，m 与M 速度分别为un和vn，对第一次碰撞，根据动量守恒和能量守恒有

解式(1) 得

接下来m 与墙壁发生第一次反射，速度变为

第一次反射后，m 将向右运动与M 发生第二……