含外激励van der Pol-Mathieu 方程的非线性动力学特性分析1)

黄建亮 王 腾 陈树辉

(中山大学应用力学与工程系,广州 510275)

引言

在工程中存在着很多可以用自激振动和参数激振联合作用的van der Pol-Mathieu 方程来描述的振动,例如,含有万向接头的转子系统的横向振动[1],卡盘作业过程中的参数激振[2],含有自振和参数激振的齿轮装置系统的振动[3],尘埃等离子体中的颗粒电荷的动力学行为[4],高层建筑结构在风荷载下的振动[5-6]等,都是可用van der Pol-Mathieu 方程来描述振动的典型例子.van der Pol-Mathieu 方程同时含有自激振动和参数激振,蕴含着丰富的动力学行为,多年来一直是众多学者关注点之一.

Tondl[7]首先分析了van der Pol-Mathieu 方程中自激振动和参数激振的相互作用,并在共振区域发现了周期响应.Kotera 和Yano[8]用两个频率的和分析了van der Pol-Mathieu 方程在参数共振区域的近似一阶和二阶的周期解.陈予恕和徐鉴[9]研究了van der Pol-Duffing-Mathieu 型系统主参数共振分岔解,得到该非线性参数激励系统依赖于物理参数变化的振动模式.Szabelski 和Warminski[10]分析了自激振动和参数激励对van der Pol-Mathieu 方程的影响,并且研究了附加外激励在同步区域内动力学行为的影响.Warminski 等[3]对含有自激振动和参数激励的两自由度系统进行分析,并得到了不同类型的响应,包含有周期响应,准周期运动响应和混沌.彭献和陈自力[11]引入参数变换,将强非线性系统转化为弱非线性系统,利用摄动思想分析得到了van der Pol-Mathieu方程的1/2 亚谐共振周期解.Belhaq 和Fahsi[12]和Pandey 等[13]分析了van der Pol-Mathieu-Duffing 系统的响应,得到该类系统可含有1:1 锁频,2:1 次谐波锁频和准周期运动响应.张琪昌等[14]利用改进的类Pad´e 方……