高考中“比较大小”常见解题策略

戴璐 关礼杰

摘 要：比较几个数的大小是高中数学选择填空中常见题型，近几年高考全国卷中考察较多，并且难度有逐年上升趋势。2021年全国一卷的“比较大小”有一定难度，也有新意。客观题遇到比较大小的问题，一般可以按顺序用基本初等函数性质法、中间值法、基本不等式法、构造函数法这四类方法进行探究。

关键词：比较大小;基本初等函数性质法;中间值法;基本不等式法;同构法;变量替换构造函数法

比较几个数的大小是高中数学中常见题型，近几年高考全国卷中考察较多。2021年全国一卷中再此出现，并且难度有上升趋势，本文想对此类题型进行一个梳理。（近三年分别出现在2019全国卷Ⅰ（文/理3），卷Ⅱ（文/理6），2020全国卷Ⅰ（理12），卷Ⅱ（理11），卷Ⅲ（文10/理12），2021全国卷Ⅰ（理12）中。）

一、基本初等函数性质法

这类题型一般比较简单，主要考察基本初等函数的单调性。是我们的首选思路。

例1、（2016全国卷Ⅲ理6）已知，，，则（ ）

（A） （B）（C）（D）

二、中间值法

如果无法利用基本初等函数单调性判断两个数的大小，一般会考虑能否找到两个数的中间值。

例2、（2019全国卷Ⅰ理/文3）

已知，则（   ）

A. B. C. D.

本题任意两个数都不是同一个函数中的数值。所以立刻考虑找中间值判断大小，这个题目比较简单，中间值是常见的0和1。

例3、（2020全国卷Ⅲ理12）已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则（   ）

A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b

例3不像例2的中间值那么明显，但只要想到中间值法，此题的中间值是比较容易看出来的，可以解决本题中b和c的大小。

三、基本不等式法

在上面的例3中，可以用基本不等式法解决剩余问题。

综上，答案：A

四、构造函数法

以上各种方法都不奏效时，就应该想到构造函数法，这种题型往往有一定难度，2020和2021高考均对其进行考察。

1.同构法

地位同等要同构，主要针对多变量.地位同等的几个变量构成的等式或不等式整理后具有结构一致性时，我们要考虑构造函数，利用其单调性解决问题。

例4、（2020年全国卷Ⅰ理12）若，则

（  ）

A. B. C. D.

答案：B

例5、（2020年全国卷Ⅱ理11）若2x-2y<3−x-3−y，则

（   ）

A.ln（y-x+1）>0 B.ln（y-x+1）<0

C.ln∣x-y∣>0 D.ln∣x-y∣<0

答案：A

2、变量替换构造函数法

比较大小的几个数值中如果有共同的量，可以考虑通过变量替换的方式来构造函数，再通过函数单调性比较大小。

例6、（2021年全国券Ⅰ理12）

答案：B

客观题遇到比较大小的问题，一般可以按顺序用以上四类方法一一探究。其中构造函数法题型多样复杂，近两年高考中多次出现，还需深入学习方能掌握。

参考文献：

[1]2016高考数学全国Ⅲ卷[Z].

[2]2019高考数学全国Ⅰ卷[Z].

[3]2020高考数学全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷[Z].

[4]2021高考數学全国Ⅰ卷[Z].

课题名称：基于学科核心素养的高中数学深度学习的教学策略研究，课题号：JK20036

3828500338210