如何破解极值点偏移问题

黄小妹

(广西南宁市第三中学 530201)

破解极值点偏移问题需要扎实掌握相关的理论.教学中应结合具体的图像为学生讲解极值点偏移的情境以及存在的不等关系，在其头脑中留下深刻的印象.同时，认真总结与汇总历年高考中有关极值点偏移的习题题型，在课堂上为学生逐一的剖析、讲解，使其掌握不同题型的解题思路，给其以后解答类似问题带来良好启发.

一、不含参数极值点偏移的处理

不含参数极致点偏移问题常作为某一压轴题的其中一小问，考查学生对导数知识的灵活应用情况.解答该类习题的方法多种多样，其中构造一元函数是常用的解题思路.解题时应灵活运用导数知识研究给出的已知函数图像，对其增减、极值情况进行大致判别.而后注重应用题干中给出的已知条件通过等量代换将多元变量转化为一元变量，构造对应的函数.以构造的函数为研究对象，通过二次应用导数知识找到其中的不等关系完成解答.

例1已知函数f(x)=xe-x(x∈R)，若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2>2.

二、含有参数极值点偏移的处理

含有参数的极值点偏移问题难度又提升了一个档次.众所周知，一般的极值点偏移问题涉及两个变量，但含有参数后出现三个变量.很多学生遇到该类题目不知如何下手.事实上，解答该类问题应结合经验，先通过化归消去参数，化陌生为熟悉，再进行求解.该题目对学生的解题经验具有一定要求，因此，教学中应注重多组织学生进行该类习题的训练，使其积累丰富的经验.

例2已知函数f(x)=ex-ax的两个零点分别为x1、x2，且x12.

ex1=ax1

①

ex2=ax2

②

三、含对数式极值点偏移的处理

解答该题目时根据已知条件构建等式关系进行巧妙的转化是关键.根据函数表达式可知x>0，显然x1x2>0.

又因为函数与直线交于两点，则可得x1lnx1=m，x2lnx2=m，

①

②

则①-②得：

两边同除以lnx1-lnx2，

③

①+②整理得到：

④

由对数均值不等式

对函数f(x)=xlnx求导得到：

f′(x)=lnx+1，x>0，

图1

极值点偏移是高中数学导数部分的重点、难点，是高考的热门考点.教学中为使学生掌握相关题型的解题方法，不断提高学生的解题能力，既要与学生一起推导相关的结论，做好解题理论的讲解，又要对相关习题分门别类，为学生做好解题示范，使学生掌握相关题型的解题规律，以后遇到类似问题能够少走弯路，迅速破题.