三次函数极值点特征分析

姜勇钢

(江苏省南通市海门第一中学 226100)

笔者借助本文，通过一道三次函数为原型题目的分析、解答、求解、归类等，将一题的多种方法一一呈现，并通过题目的分析引领学生去深入分析、感悟题目，学会在对比中感悟，在感悟中应用，在应用中提升，在长期的教学引领下，实现减负高效的数学学习环境.

一、例题呈现

已知f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)，若函数f(x)有两个极值点x1,x2，x1

方法一(直接代数运算)求导得

f′(x)=3x2+2ax+b，

所以x1,x2是方程

3x2+2ax+b=0

的两个根，根据韦达定理得

又由题意得

所以g(x)=f(x)-f(x0)

=(x-x0)(x-x1)2

显然它有两个零点，分别为x1和x0.

方法二(平移代换)将f(x)的解析式作如下变形：

①

②

而g(x)=f(x)-f(x0)=[φ(t)+B]-[φ(t0)+B]=φ(t)-φ(t0).

③

所以原题等价于下列命题：

已知φ(t)=t3+At，若函数φ(t)有两个极值点t1,t2，t1

显然有两个零点t0,t1.

二、方法总结

方法总结，并引领学生进行全面的解读和反思，这是全面提升这道题目的价值所在，也是提升学生解题能力的关键所在，在这道题目上，我们可以做以下四个环节的总结与反思，分析与提炼、变式与拓展.

1. 判断一个多项式的零点时，如果能因式分解，当然优先考虑因式分解.

在本题中，显然有一个零点是x0，所以必有一个因式x-x0. 而这道题选择作为参数x1,x2，消去a,b,x0，而不是通常地利用韦达定理转化以a,b为参数，是因为x0的表达式中x1,x2的地位并不对等，无法凑出只含x1+x2和x1x2的形式.

2. 本题可以推广至一般情况，得到下列结论：

设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有两个极值点x1,x2，且x1

图1

即点A在线段DB上的投影将线段DB分成1∶2的两部分，点B在线段AC上的投影将线段AC分成2∶1的两部分.

3.2016年天津高考压轴题第(2)问即以命题为背景，求证A,F,C(D,F,B)横坐标之间的关系.

现节选如下：

(文)设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R，若f(x)存在极值点，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，

求证：x1+2x0=0；

(理)设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R，若f(x)存在极值点，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3.

4. 2013年广东文数压轴题第(2)问亦与此有关，节选如下：

设函数f(x)=x3-kx2+x，当k<0时，求f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.

容易分析得该三次函数在[k,-k]上的图像包括了DABC，所以最小值在左端点取得，最大值在右端点取得.而将函数与端点函数值作差，代数变形后判断符号即可说明这一点：

f(x)-f(k)=(x3-kx2+x)-k=(x-k)(x2+1)≥0

以及f(x)-f(-k)=(x3-kx2+x)-(-2k3-k)=x3-kx2+2k3+x+k=x2(x+k)+2k(k2-x2)+(x+k)≤0.

易得m=f(k)=k，M=f(-k)=-2k3-k.

5. 平移代换是简化问题的常用技巧，如上面的2016年天津高考题，经过平移代换之后，两个命题是完全等价的，但是文科的题从面上看确实比理科题简单，若我们能以运动的观点来看函数图像，不拘泥于表达式这件“外衣”，想必我们能更快地抓到问题的本质.

授之以鱼不如授之以渔，在常态的课堂教学过程中，我们要致力于教育教学质量的训练和提升，这就要求我们站在学生的高度，帮助学生去剖析相应问题的本质，举一反三、一题多解、一题多变，在深入的研究中触发学生的能力生长.