利用智能手机磁传感器研究单摆运动

王锦辉，孙存英，周 红，王宇兴

(上海交通大学 物理与天文学院，上海 200240)

单摆是一个非常经典的物理实验.小角度(摆角小于5°)摆动可以认为是作简谐运动[1]，对周期进行测量，可测定当地的重力加速度.此外还可研究大角度单摆和空气阻尼情况下的运动规律.在新冠病毒疫情期间，众多学校开设了单摆居家物理实验.通常是将手机用细线固定起来，用手机中的加速度计测量摆动周期[2]，亦有直接用手机秒表测量单摆摆动周期.如果直接把手机作为单摆，因为手机具有较大的迎风面积，空气阻尼将会造成较大影响.而利用手机秒表测量一个单摆的摆动周期，手动按停秒表亦会有测量误差[3].

在本文中采用一块小的磁性图钉(钕铁硼永磁体)作为摆，利用手机中的三轴磁传感器(电子罗盘)来测量磁感应强度随时间变化来研究单摆运动.

SebastianStaacks等人利用手机传感器设计开发了手机物理实验软件Phyphox(Physical phone experiments缩写)[4].主界面如图1(a)所示.其中Phyphox中磁力计可以通过访问手机电子罗盘，直接测量磁感应强度.图1(b)中显示了Phyphox所采用的坐标系.

图1 Phyphox智能手机APP

1 原理简述：

将细线一端悬于一个支点上，另一端固定一个永磁体作为摆，磁体NS极与摆线方向一致.磁体的尺度相对于摆长L来说小得多，可以看成质点，摆线质量不计.则根据受力分析可推导出单摆运动方程为

(1)

(2)

1.1 小角度无阻尼时

(3)

1.2 在大角度无阻尼情况时

(4)

解为[5]

θ=θmcos(ωt)+

(5)

其中

1.3 在小角度有阻尼时

式(2)解为

θ=θme-βtcos (ωt)

(6)

(7)

(8)

式(6)和(8)表明摆球摆动的幅度呈现指数式减小，周期随阻尼系数增加而增大.

但实际上摆角并不能用磁力计直接测量.将永磁铁看成一磁偶极子Pm，方向沿摆线方向.磁传感器位于摆静止时正下方h处.图2为磁偶极子磁场模型.磁偶极子在磁传感器K处的磁感应强度为B，距离为r.

图2 磁偶极子磁场模型

(9)

则

(10)

(11)

(12)

对于小角度情况，根据式(12)，将式(10)、(11)中角度α、φ均用θ表示，在θ=0附近进行泰勒展开(保留到二阶).则

(13)

(14)

显然，式(13)、(14)给出了手机磁传感器测出的磁感应强度与摆角的关系.

对于小角度有阻尼情况，可将式(6)代入式(13)和(14)，则

(15)

(16)

2 实验过程

如图1(b)所示，将细线拴在强磁图钉上，保证图钉磁铁NS极沿摆长方向.细线固定在钉在墙上的钢钉上.在手机上打开Phyphox手机APP，利用“斜面”工具判断手机是否水平放置,用磁力计测量磁感应强度.当磁性图钉沿x方向摆动时，平移手机位置，使得y轴磁感应强度接近0，z轴磁感应强度最大时，手机磁传感器位于单摆平衡位置的正下方.当图钉摆动时，可明显观察到磁场周期性变化.整个实验在无风的环境中进行，并尽量避免单摆作圆锥摆动.

3 实验结果与分析

3.1 重力加速度测量

图3显示在小角度无阻尼情况下，Bz随时间变化.此时L=121.20 cm.T=11.01*2/10=2.202 s，根据式(3)可计算g=9.868 m/s2，与标准值9.794 m/s2，相比相对误差为0.8%.

图3 单摆Bz随时间变化

3.2 磁感应强度波形随时间变化关系

图4(a)为最大摆角分别为1°、3°、5°、10°和15°情况下Bx测量值随时间变化图.从图中可以看出当最大摆角超过3°，测量出的Bx随时间变化明显偏离余弦函数，这是因为随最大摆角增大，式(10)所要求的小角近似不再满足，

图4 不同摆角下Bx随时间变化关系

此时需要考虑大角度单摆运动.由此可见利用磁传感器很容易根据波形是否接近余弦函数来判断单摆是否作简谐运动.

根据(12)式，将(10)、(11)式中角度α、φ均用θ表示，且θ用(5)式表示.略去θm5次以上高次项，其中ω略去θm4次以上高次项，并代入式(10)，则可用matlab作出不同摆角的Bx随时间的变化关系.如图4(b)所示，理论计算值所得到的各种波形与实验测量值基本一致，只是对应的角度偏大，这可能是由于计算时略去高次项而导致的.

图5为初始摆角为15°的单摆经过t0时间后3 s内的波形.随着时间增加，由于空气阻尼影响，单摆摆动角度越来越小，Bx随时间变化的波形也逐渐如图4(a)变化.200 s以后波形接近正弦波形.此结果亦表明可以根据波形的变化定性判断摆角的大小.

图5 大角度单摆经过t0时间后3 s内的波形

3.3 阻尼运动

对最大摆角为1°的Bx在较长时间内变化图见图6，可以看出幅度随时间增加而减小.图中粗黑线为用公式(15)中幅度随时间变化关系对图6中极值点进行拟合，对上方和下方幅度极值拟合得到的β分别为1.266×10-2/s和8.81×10-3/s.Bz在较长时间内变化图见图7，拟合得到的β为1.755×10-2/s.按照公式(15)和(16)，拟合得到的β值应一致.实验中之所以产生上述差异，可能是由于磁传感器并没有理想地位于单摆平衡位置下方.另一方面磁性图钉并非一个球体，在来回摆动时，迎风面积也可能会有一点变化.尽管如此，从图6和图7中得到的阻尼系数数量级基本相同.

图6 Bx随时间变化关系

4 结论

综上所述，利用手机磁传感器研究磁性单摆运动，可以很大程度上减小空气阻尼的影响，较为精确地测量重力加速度.只有最大摆角在1°以内，而不是通常认为的最大摆角5°以内[1]，测量的磁感应强度随时间变化满足正弦规律，也就是磁感应强度正比于摆角θ.最大摆角超过1°，磁感应强度与时间变化关系可以用大角度单摆来解释.利用磁偶极子模型可以分析磁性单摆磁感应强度随时间变化关系，拟合结果波形与实验测量值一致.此结果表明利用磁传感器研究单摆运动规律时，不能想当然认为磁感应强度随时间变化关系正比于摆角随时间变化关系.这一结论也可推广到利用其他传感器如光探测器研究单摆运动规律上[6,7].另一方面也表明手机磁传感器提供了一种新的方法，可以更为精确和清晰地判别单摆是否可以看作简谐振动.