关于酒和水的数学问题新探

浙江省温州市鹿城区锦绣路58 号(325000) 柯成森

有这样一个关于酒和水的古老的问题: 木桶里装着1 加仑水,葫芦里装着1 加仑酒.从葫芦里取1 品脱酒倒入木桶里,搅匀,然后从木桶里取1 品脱混合物倒入葫芦里.做了这些之后,问: 葫芦里的水多还是木桶里的酒多?

分析1我们知道,原先木桶里的水和葫芦里的酒是一样多的,最后木桶和葫芦里盛的液体还是一样多,说明木桶里的一部分水被葫芦里的一部分酒代替了,显而易见,葫芦里的水和木桶里的酒是一样多的.接下去我们定量计算一下,因为1 加仑=8 品脱,所以从葫芦里取1 品脱酒倒入水里后,木桶里酒的浓度p= 1/9(这里浓度指该液体和混合液体积比,下同)从木桶里取1 品脱混合物倒入葫芦里后,葫芦里水的浓度p′= (1−1/9)∗(1/8) = 1/9.p=p′,因此木桶里酒和葫芦里水浓度相等, 都等于1/9(即11.11%), 且它们的量都是1/9 加仑.

分析2我们把上述问题里的1 品脱换成a加仑,(a<1,为叙述方便, 单位还是用了加仑, 实际就是所取酒的量与原来葫芦里总酒量之比为a) , 这样从葫芦里取a加仑酒倒入木桶里后, 木桶里酒的浓度p=搅匀, 再从木桶里取a加仑混合物倒入葫芦里, 则葫芦里水的浓度说明木桶里酒的浓度和葫芦里水的浓度相等,又由于置换之后木桶和葫芦里液体量相等,因此它们的量也相等.(注:p——代表木桶里酒的浓度;p′——代表葫芦里水的浓度,以下将用下标代表第几次置换动作)

分析3在第一次置换的基础上, 我们再从葫芦里取a加仑酒倒入木桶里,搅匀,然后从木桶里取a加仑混合物倒入葫芦里,这时葫芦里的水多还是木桶里的酒多? 木桶里酒的浓度葫芦里水的浓度可见第二次置换后说明第二次置换后,木桶里酒的浓度和葫芦里水的浓度还是相等,当然,它们的量也相等.

再重复上述动作, 我们不难得到第三次置换后的结果:木桶里酒的浓度葫芦里水的浓度可见第三次置换后

重复下去,我们得到的结果:

…………

这些数值表达式是很有规律的,不难发现分子与(a+1)n二项式展开式有密切关联! 列表对照如下:

原来等式中的分子是分母二项式展开式的奇数项或偶数项之和,当次数为奇数时,为奇数项之和,当次数为偶数项时,为偶数项之和.

写成通式:pn=或写作:n为奇数时,

n为偶数时,

分析4关于上式的证明(数学归纳法): 上面已经证明,n= 1 时,,n= 2 时,

假定n为奇数时,

将等式1 代入上式,得到

上式与n为偶数次时pn+1表达式相符(因为又置换了一次),证明等式成立.同理,以n为偶数次时pn表达式代入等式3,可以得到n为奇数次时pn+1表达式,且与等式1 相符.

分析5通过观察,以上通项公式也可写成:

上式可以通过数学归纳法方便地证明(证明从略).

且易知:当n →∞时,由此可知,重复无数次置换操作之后,木桶里、葫芦里的酒、水浓度将趋近一样,都是50%,也就是最后两个容器里的溶液将变成一样.

分析6现在我们变一下题目: 木桶里装1 加仑水,但含有少许酒,假设酒的浓度为x,葫芦里装1 加仑酒,但含有少许水,假设水的浓度为y,每次从葫芦里取a加仑液体倒入木桶里,搅匀,再取a加仑液体倒回葫芦,这样经过n次置换后,问: 木桶里酒的浓度和葫芦里水的浓度各是多少?

第1 次, 木桶里酒的浓度p11==葫芦里水的浓度p12= [(1−p11)a+y(1−

第2 次,木桶里酒的浓度p21= [p11+(1−p12)a]/(1+葫芦里水的浓度p22= [(1−p21)a+p12(1−a)]/1=

[附注:p21,p22也可以通过p21(x,y)和p22(x,y)的复合函数求得,方法略]

第3 次,木桶里酒的浓度p31=[p21+(1−p22)a]/(1+a)葫芦里水的浓度p32=[(1−p31)a+p22(1−a)]/1=

第4 次,木桶里酒的浓度p41=[p31+(1−p32)a]/(1+a)葫芦里水的浓度p42= [(1−p41)a+p32(1−a)]/1 =

……

结论: 当n为奇数时,

当n为偶数时,

结合“分析5”,通过观察,pn1表达式前半部分即等式4,后半部分可写成:故pn1=即pn1=同理pn2=

(pn1为置换n次后木桶里酒的浓度,pn2为置换n次后葫芦里水的浓度)