基于sunflower的局部修复码构造

（空军工程大学基础部，西安 710051）

0 引言

在分布式存储系统（Distributed Storage System，DSS）中，数据备份是解决节点错误所采用的最简单的方法，例如三重备份［1］。信息时代数据量的急剧增加，使备份的存储负荷越来越大，因此，人们寻找更好的方法来确保数据的可靠性，纠删码应运而生。纠删码可以在确保数据可靠性的同时，相较于备份大大减少存储负荷，因而得到了广泛应用［2-3］。

为了减小纠删码的修复代价，2012 年，Gopalan 等［4］提出了局部修复码（Locally Repairable Code，LRC）：对于一个码长为n，维数为k，距离为d的线性码C，记为C=[n，k，d]，若码C的每一位都可被其余不超过r位修复，则称这个码为局部度r的LRC。同时，Gopalan 等［4］提出了一个界，要求LRC 的最小距离满足：

这个界被称为Singleton 形界。然而Singleton 形界是不紧的，尤其在小域上，LRC的参数很难达到界。Cadambe等［5-6］提出了一个更适用的界，即C-M（Cadambe-Mazumdar）界。它将域的大小考虑在内，要求LRC的参数满足：

其中：k'=是码长为n、距离为d、q元码的最大维数。对于一个参数为[n，k，d，r]q的LRC，若k=k'，称其参数达到了C-M 界，且该LRC是最优的；若k=k'-1，称该LRC为拟最优的。

近些年关于最优LRC 的构造问题得到了大量研究。2017 年，文献［7］给出了LRC 的校验矩阵刻画和不相交局部修复组的概念，并应用（partial）t-spread 构造了二元域一类距离为6 以上的LRC。Silberstein 等［8］利用反链码构造了局部度为2 和3 的二元LRC，其中部分是最优的。文献［9］在2019 年应用不相交局部修复组构造了距离为6 的二元最优LRC。Fu等［10］给出了三类局部度为1，2，3 的二元LRC，其中大部分是最优的。文献［11］给出了一种二元域上利用奇距离LRC 构造偶距离LRC的方法，并构造了d=6，7，8的最优LRC。文献［12-14］分别研究了利用广义级联码、子域子码和代数曲线和曲面构造LRC。……