常p -Laplacian系统周期解的存在性

郭 曼，王大斌

(1.四川信息职业技术学院 基础教育部,四川 广元 628000；2.兰州理工大学 理学院,甘肃 兰州 730050)

考察如下p-Laplacian系统

(1)

当p=2时,系统(1)即为二阶Hamiltonian系统.经查阅文献发现,对于二阶Hamiltonian系统解的存在性问题,大量学者采用了不同的方法来验证,最后得到了一系列成果.特别地,Li[1]等在较弱的积分周期条件下得到了关于系统(1)周期解的一个新的结果,且该结果推广了Willem[2]的结论.通过采用类似于文献[1]中的条件,Wang[3]等证得了二阶离散Hamiltonian系统存在周期解.其他研究成果详情可参见文献[4-8]及其参考文献.

目前,关于(1)式这样的p-Laplacian系统周期解的存在性问题受到了很多学者的关注,详情可见文献[9-14]及其参考文献.特别地,文献[9]分别运用对偶最小作用原理和鞍点定理讨论了系统(1)周期解的存在性问题,并且最后在该问题上有所收获.

受到文献[1]和[9]的启发,一个自然的问题:若用[1]中的方法去研究[9]中的系统的周期解存在性问题得到几个结论.

1 主要结论

本文主要针对系统(1)的周期解的存在性问题展开讨论,其中p≥2,F:×N→,N≥2,F(t+T,x)=F(t,x),T>0,F(t,u(t))=F′(t,u(t))表示F(t,u(t))关于t的梯度.在文中,假定F(t,u(t))满足如下条件:

(A)对任意x∈N,F(t,x)关于t是可测的,对几乎每个t∈[0,T],F(t,x)关于x连续可微,且存在a∈C(+,+),b∈L1([0,T];+),对每个x∈N和几乎所有的t∈[0,T]满足下列式子

|F(t,x)|≤a(|x|)b(t),|F(t,x)|≤a(|x|)b(t).

下面为本文的主要结果.

定理1假设F满足条件(A)和下列条件

(F1){ei|1≤i≤n}是N的正交集,存在Ti>0对任意的x∈N和几乎所有的t∈[0,T]满足

|F(t,x)|≤C1|x|p+C2,

则系统(1)至少存在一个T-周期解.

定理2假设条件(A),(F1)和下列条件成立

(F3)存在λ1

(F4)当|x|→+,对任意的t∈,存在δ>0满足F(t,x)>δ,

(F5)F(t,x)≤b|x|p.

2 预备知识

定义空间

引理1[16]假设X为Banach空间,f∈C1(X,).若{un}⊂X满足如下条件……