一个中考常考结论的探究

王锋

一、结论引入

引例 已知∠ACD = 90°，MN是过点A的直线，AC = DC，DB⊥MN于点B，如图1，求证BD + AB = [2]CB.

提示：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE ≌△DCB（ASA），得到△ECB为等腰直角三角形，由BE = AE + AB = BD + AB，即可得到BD + AB = [2]CB.

探究：当MN绕点A旋转到如图2和图3两个位置时，BD，AB，CB满足什么关系？

分析：观察图2，看到BD，AB，CB这三条线段中线段AB变长且为最长，而线段BC变短了，可猜想到图1中三边关系不可能成立，结合图1中结论的结构特征我们猜想AB - BD = [2]CB;

观察图3，发现线段BD变为最长，AB变为最短，可以猜想BD - AB  = [2]CB.

请同学们仿照证明图1结论的思路自己证明图2和图3的结论.

反思：处理此类问题的突破口，一般是先构造出表示某线段[2]倍或[3]倍的线段，这时要以常见的特殊三角形为模型，如：等腰直角三角形的斜边是直角边的[2]倍;顶角为120°的等腰三角形的底边长是腰长的[3]倍;含30°角的直角三角形中，较长的直角边等于较短直角边的[3]倍;等等. 然后利用全等三角形进行线段之间的等量代换，最终获得问题的结论.

二、实战演练

例（2020·辽宁·本溪）如图4，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC = α（0°<α<180°），且AB = CB.D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC = α，連接CE，BE. 如图4，当点D在线段CB上，α = 120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由.

分析：从图形中可以发现线段AE最长，于是，如图5，在AE上截取AF = CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF ≌△CBE（SAS），得出∠ABF = ∠CBE，BF = BE，由等腰三角形的性质得出FH = EH，根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理容易得出FH = EH [=32]BE，进而得出结论.

解： AE [=3]BE + CE，理由如下：

如图5，在AD上截取AF = CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，

∵∠ABC = ∠AEC，∠ADB = ∠CDE，

∴∠A = ∠C，

在△ABF和△CBE中，[ AF=CE， ∠A=∠C， AB=CB，]

∴△ABF ≌ △CBE（SAS），

∴∠ABF = ∠CBE，BF = BE，

∴∠ABF + ∠FBD = ∠CBE + ∠FBD，∴∠ABC = ∠FBE，

∵∠ABC = 120°，∴∠FBE = 120°，

∵BF = BE，

∴∠BFE = ∠BEF [=12×]（180° - ∠FBE）[=12×]（180° - 120°） = 30°，

∵BH⊥EF，

∴∠BHE = 90°，FH = EH，

在Rt△BHE中，EH [=32]BE，

∴EF = 2EH = 2 [× 32]BE[ =3]BE，

∵AE = EF + AF，AF = CE，

∴AE[ =3]BE + CE.

点评：添加适当的辅助线构造全等三角形是解决问题的难点与关键.