求函数值域忽略隐含条件致误剖析

江苏省江阴市青阳高中级中学 谭 颖

从近几年的高考来看，求函数的值域问题是热点之一，函数的值域问题在高考中常以各种问题为背景，与各方面综合进行考查。求函数值域常用的方法虽然不少，但是由于隐含条件较多，加上没有普遍适用的准则可循，学生解题时容易忽略隐含条件而失误。本文就忽略隐含条件致误剖析如下。

一、扩大或缩小了函数的定义域

二、把闭区间端点的函数值误认为函数的最值

例3：求函数y=x2-4x 在闭区间[0,8]上的值域。

误解：因为定义在闭区间上的连续函数必有最大值和最小值，因此，可求得端点的最值：当x=0 时，y1=0；当x=8，y2=32，所以原函数的值域为[0，32]。

剖析：上述答案把闭区间上端点的函数值y1=0 误认为函数的最小值，事实上，函数y=x2-4x=（x-2）2-4 的最小值为-4。

正解：由y=x2-4x=（x-2）2-4 可知，当x=2 ∈[0,8]时，函数有最小值y1=-4。因为定义在闭区间上的连续函数必有最大值和最小值，而且它们或者是函数的最值，或者是闭区间端点的函数值，所以可求得端点的函数值y2=0（当x=0 时）；y3=32（当x=8 时），比较y1，y2，y3的大小可得-4 ≤y ≤32，所以原函数的值域为[-4，32]。

三、求值域问题与求最值问题混淆

四、忽视新变量的取值范围

五、忽略了正余弦函数的有界性

六、忽略了基本不等式取等号的条件