基于Thevenin模型和改进扩展卡尔曼的特种机器人锂离子电池SOC估算方法

熊 然，王顺利，于春梅，夏黎黎

（西南科技大学信息工程学院，四川 绵阳 621010）

21 世纪能源匮乏和环境污染是阻碍人类可持续发展的两座大山，发展清洁能源是改善能源结构、保障能源安全、推进生态文明建设的重要任务[1]。近年来，随着锂离子电池内部正负极、隔膜和电解液等材料的不断优化改进，工作性能高速发展，使得锂电池大量运用在新能源汽车、航空、分布式储能和特种机器人等领域[2]，锂电池是特种机器人的关键部件[3]。为避免因过度充电和放电而导致的安全问题，建立可持续监测锂离子电池状态的电池管理系统(battery management system，BMS)十分必要[4-5]。精确估算电池的SOC 能有效防止电池过充和过放，延长电池使用寿命[6]。精确估算锂离子电池SOC在BMS中起着至关重要的作用。构建等效模型可以针对电池动态特性进行分析，但由于锂电池内部结构复杂且时常表现出强烈的非线性特性，使得常规等效模型很难完整表征锂电池内部特性[7]。因此，建立合适的等效模型来分析锂离子电池内部动态工作特性，对于控制、监测锂离子电池性能具有重要的意义。

文献报道中常见的电池模型主要有电化学模型、人工神经网络模型及等效电路模型等[8-9]。目前国际上常用的电池SOC 估算方法有安时积分法、开路电压法、神经网络法、卡尔曼滤波法及相应的多种扩展形式的方法等，国内外对SOC 的估算方法也进行了不同优化和改进[10-11]。锂电池充放电过程是一个复杂的非线性过程，其SOC 估算精度在复杂工况条件下易受到外部环境的影响，且锂电池在使用过程中内部电化学反应复杂，常伴随有极化效应、欧姆效应等，难以用常规算法对其数学模型进行量化和分析[12]。基于上述锂离子电池SOC 估算问题，近年提出了一些新的SOC 估算方法，如扩展卡尔曼滤波算法、无迹卡尔曼滤波算法和自适应卡尔曼滤波算法等。其中，扩展卡尔曼滤波算法的基本思想就是将非线性系统的状态方程进行线性化，并利用泰勒公式，将非线性离散函数展开，使公式线性化再用卡尔曼滤波算法进行处理。本文中的IEKF算法是针对扩展卡尔曼滤波算法在低SOC阶段估算误差较大的现象提出的一种改进方法。

本文研究的目的是验证特种机器人锂离子电池SOC在IEKF算法下的估算结果是否精准。针对三元锂离子电池的工作特性，建立Thevenin 等效电路模型，在多种工况条件下采用EKF 算法和IEKF算法对锂离子电池SOC 进行估算。在此基础上对比两个算法的估算结果，以验证IEKF 算法的改进效果。

1 理论分析

1.1 等效电路模型

为了方便地准确估算锂离子电池的荷电状态，选择合适的电池等效电路模型进行构建是一个重要的过程。电池内部动态特性的表征形式及准确度会在很大程度上影响荷电状态的估算结果。电池是高度复杂的非线性电化学储能装置，很难精确地描述控制过程中发生的相互作用和反应。目前常见的电池模型包括电化学模型、神经网络模型以及等效电路模型等。电化学模型的建模难度和计算复杂程度大，系统的计算能力可能达不到理论要求，不适用于工程应用。神经网络模型需要大量的实验工况数据才能进行电池荷电状态的估算，操作不当易出现较大误差。而等效电路模型则是利用电路反应来模拟电池内部的反应。

Thevenin 模型是一个结构简单的等效电路模型，其能够较准确地表征锂离子电池内部动态特性，并且满足了一般工程应用的需求。Thevenin模型使用串联电阻和一个RC 回路来模拟电池内部特性。与Rint 模型相比，Thevenin 模型增加了一个RC 回路以表征电池内部的极化反应。该模型中的内阻和RC 回路可以用来表征电池的动态特性。如图1所示，Thevenin模型是常用的等效电路模型之一。

图1 Thevenin等效电路模型Fig.1 Thevenin equivalent circuit model

图中，Uoc为开路电压；R0为电池内阻；Rp为极化电阻；Cp为极化电容；UL为电池端电压。R0可以反映充放电过程中电池电压的瞬时变化。Rp和Cp可以反映充放电后电池电压的逐渐变化以及电池内部的极化效应。根据Kirchhoff 定律，可以从Thevenin模型获得等效电路表达式

式中，Uoc、R0、Rp、Cp以及UL与图1 中所对应的变量物理含义一致。Up代表Rp、Cp两端的电压，I 代表Thevenin 等效电路中的实时电流。其中，开路电压Uoc可由状态变量SOC 来进行表征，可得到非线性函数关系式。SOC的定义式

式中，Q0为电池额定容量；η 为库仑效率系数；I 为充放电电流，以放电方向为正方向。利用现代控制理论知识，可将等效模型离散化处理。结合式(2)，选取状态空间变量xk=[SOCk,U1,k]T，输入变量Uk=[Ik]，输出变量yk=[U0,k]。可获得离散状态空间方程式和观测方程式

式中，Δt为采样时间间隔；τp=RpCp；w为状态误差，v 为测量误差，它们的协方差矩阵分别是Q和R。

1.2 参数辨识

选择三元锂电池进行试验,电池的标称容量为72 A·h，实测容量为70 A·h。由于Thevenin 模型中需要辨识的参数会随温度变化，为测试特种机器人在不同温度环境下的电池荷电状态，本文试验在10、25以及35 ℃的条件下进行。本次试验的辨识方法选择基于最小二乘法的离线辨识方法。在以上条件下，对电池进行混合动力充放电实验(hybrid pulse power characterization，HPPC)，通过分析锂离子电池在不同工作阶段中的工作特性曲线来辨识Thevenin模型各参数。如图2所示为HPPC实验的一次循环充放电过程。

图2 锂离子电池的一次HPPC循环Fig.2 One HPPC cycle of lithium-ion battery

由图可知，在放电开始的U1～U2阶段，欧姆内阻引起电池端电压发生骤降。在放电结束的U3～U4阶段，电池搁置，负载电流和欧姆电压消失引起电池端电压发生骤升，因此可知电池欧姆内阻如式(4)所示。

由图2 可知，U2～U3阶段为RC 回路中极化电容充电，电压缓慢下降，此时为RC 回路的零状态响应。端电压达到U3之后电池停止放电，欧姆内阻不再影响等效电路，电池电压发生突变。U2～U3阶段电池端电压如式(5)所示。

U4～U5阶段端电压逐渐上升，此时RC 回路中的极化电容向极化电阻放电，导致电压缓慢回升，为RC 回路的零输入响应。U4～U5阶段的电池端电压如式(6)所示。

式中，Rp为极化电阻；R0为电池内阻；Uoc为开路电压；τ为时间常数且τp=RpCp，其中Cp为极化电容。

1.3 改进扩展卡尔曼算法

经典卡尔曼滤波算法在时域内进行估算，没有进行时域和频域的相互转换，因此计算量小且实时估算效果好，其常用于线性系统。而现实中的系统多为非线性随机系统，如锂离子电池SOC 系统。于是扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter，EKF)算法就被提出用来解决此类问题。扩展卡尔曼滤波算法通过线性化非线性状态空间模型来估计非线性系统，以此用来实现精确的状态估算。扩展卡尔曼算法是一种结合概率论的数学方法，其基本思想是根据最小方差对系统状态进行最优估计，其原理是将信号和噪声的状态空间模型相结合。扩展卡尔曼算法是对经典卡尔曼算法的改进。在该算法中，将状态转移函数和测量函数进行一阶泰勒展开，忽略高阶项对系统的影响，得到近似的线性空间方程，然后再根据经典卡尔曼滤波算法对其进行运算，适用于离散非线性系统。离散非线性系统状态方程和观测方程如式(7)所示。

式中，第1 个等式表示状态方程，第2 个等式表示观测方程。k 为离散时间；Xk为状态向量；Zk为观测向量；wk和vk分别为状态误差和观测误差，也就是相互独立的高斯白噪声。在处理锂离子电池的非线性问题时，采用一阶泰勒级数展开法可以扩展其在非线性系统中的应用，即对非线性函数f 和h 进行一阶泰勒级数展开，其结果被认为是在k 时间点的最佳估计值。展开结果如式(8)所示。

将Ak、Bk、Ck和Dk进行一系列线性变化之后，非线性系统被转化为线性系统，并且转化后的线性系统只与状态变量有关。式(8)可由式(10)线性表示。

式(10)包含了一个状态空间方程和一个观测方程。其中Ak为状态转移矩阵，Bk为控制矩阵，Ck为系统观测矩阵，Dk为前馈矩阵。初始滤波状态变量及其方差的方程如式(11)所示。

将式(10)应用于离散化模型，对状态空间方程应用卡尔曼算法进行预测估算，能够获得扩展卡尔曼算法的递推过程如式(12)所示。

式中，E 为理想电压源；I 为通过电池内阻R0的电流；Q0为电池额定容量；η为库仑效率系数；i为充放电电流，以放电方向为正方向。将式(13)离散化后，可得到其对应的状态空间方程和观测方程如式(14)所示。将式(14)经过一阶泰勒展开线性化处理后，可得到Thevenin 等效电路模型在式(9)中对应的Ak、Bk和Ck的值如式(15)所示。其中Ak为状态转移矩阵，Bk为控制矩阵，Ck为观测矩阵。利用扩展卡尔曼滤波算法来完成目标状态估算，不需要事先计算标称轨迹。非线性方程的求解目标是使噪声为零。而扩展卡尔曼算法是一个线性近似的非线性过程，因此只能与滤波误差一起使用。

结合式(14)与式(15)，Thevenin 等效电路模型的扩展卡尔曼算法递推过程如式(16)所示。在扩展卡尔曼滤波算法中，利用一阶泰勒级数展开对经典卡尔曼滤波算法进行线性化，不可避免地会产生估算误差。这可能会导致滤波发散，增加估计的不稳定性。然而在实际应用中很多系统都是非线性的，因此需要去掉泰勒展开式的高阶分量才能进行估算。

递推过程首先对k 时刻的状态变量进行预测，再通过计算此时状态变量的估计误差来预测对应的协方差。预测结束后，开始计算此时的卡尔曼增益以完成对状态变量以及噪声协方差的更新。状态变量最优估计值通过k时刻的开路电压值进行估算更新，噪声协方差通过k 时刻卡尔曼增益值以及k-1时刻的噪声协方差进行估算更新。

EKF 算法在每一次迭代过程中对锂离子电池SOC 进行预测和更新。在锂离子电池的高容量区时，EKF 算法估算SOC 有较好的效果。但当锂离子电池SOC 低于40%时，EKF 算法的估算效果较差，在工况实验中甚至出现估算结果为负值的现象。经过理论分析，上述现象出现的原因为：

（1）EKF算法所得的解并不是全局最优解而仅是局部最优解，会导致估算误差积累，导致SOC值在估算后期越来越偏离实际值，出现估算误差较大的情况；

（2）当锂离子电池放电至SOC 低于40%时，电池端电压的剧烈变化使得SOC-OCV曲线拟合出的端电压误差增大，导致EKF 算法的估算结果不精确。

为避免上述现象的发生，在锂离子电池容量低于40%的区域可采用安时积分法进行估算。但安时积分法十分依赖SOC 初值且会随着时间的推移积累误差。因此，提出一种在低容量区采用安时积分法和EKF 算法比较误差绝对值以求出误差最小，其他容量区仍采用EKF 估算的IEKF 算法。基于IEKF算法的SOC估算流程如图3所示。

IEKF 算法是一种混合算法。在锂离子电池容量高于40%时，该算法进行EKF 估算并将估算结果作为最终输出结果。在锂离子电池容量低于40%时，该算法需要比较此时EKF算法估算误差与安时算法估算误差的绝对值大小，并将误差绝对值小的算法所对应的SOC值作为最终输出结果。

图3 IEKF算法的SOC估算流程Fig.3 SOC estimation flow chart of IEKF algorithm

2 实验结果分析

2.1 参数辨识结果及分析

针对锂电池在充放电过程中所表现出的内阻差异，对锂离子电池进行混合动力充放电实验。其中放电过程的HPPC实验步骤如下。

（1）对锂电池进行标准放电。放电结束结束后静置2 h，再将电池恒流恒压充电至满电量。其中，恒流大小为1 C，恒压大小为4.2 V，充电截止条件为电流降至3.5 A。充放电12 h后激活锂电池。

（2）对锂电池进行电流脉冲实验。先以1 C的电流放电10 s，然后静置40 s，再以1 C的电流充电10 s，目的是使电池回到之前的SOC 值。完成一组脉冲充放电实验后，以1 C的速率放电6 min，再放置40 min，然后进行HPPC实验，记录开路电压、放电电流和放电时间。

（3）重复步骤(2)，每次循环使电池容量下降10%。分别在锂电池SOC=0.9、0.8、0.7、...、0.1 下进行HPPC 实验即可辨识出电池的欧姆内阻R0、极化内阻Rp、极化电容Cp和开路电压Uoc。在25 ℃时，不同SOC阶段的欧姆内阻R0、极化内阻Rp、极化电容Cp和开路电压Uoc的辨识结果见表1。根据每个SOC 测试点的HPPC 实验数据，可以得到Thevenin 模型中不同参数与SOC 的对应函数关系。

从表1 中可以看出，欧姆内阻R0随SOC 值的降低而缓慢增加，且变化范围较小、变化速率较慢。极化内阻Rp随SOC 值的降低而缓慢减小。当SOC 降低至20%及以下时Rp急剧增大，增加的加速度也随之增大。长时间放置后，极化效应和欧姆内阻效应大大降低。此时测得的电池端电压为开路电压Uoc，即电池电动势E。SOC 值从100%下降到90%阶段，锂电池端电压迅速下降，Uoc下降了0.135 V。SOC 值从90%下降到50%阶段，SOC每下降10%，Uoc下降0.075～0.095 V。SOC 值从50%下降到20%阶段为稳定阶段，此时SOC每下降10%，Uoc降低幅度基本稳定在0.05 V 以内，电压波动较小。SOC 值下降至20%及之后的阶段，由于电池放电，Uoc下降很快，电压波动很大。实验结果表明，当SOC 小于20%时，即锂离子电池深度放电后，电池内部化学反应严重。为验证EKF算法对特种机器人锂电池SOC 的估算是否合理，本实验需要在多类工况条件下进行研究，以分析算法的精度、误差及收敛性。

表1 不同SOC状态下的模型参数Table 1 Model parameters under different SOC states

2.2 HPPC实验结果及分析

由于锂离子电池在实际应用中常表现为间歇性放电状态，因此本实验需要在HPPC工况条件下对电池模型进行仿真分析，仿真平台选择Matlab/Simulink。安时积分法、扩展卡尔曼算法和改进扩展卡尔曼算法的SOC 初始值分别设定为1、0.8、0.8。实验结果如图4所示。

图4 HPPC实验下SOC估算及估算误差Fig.4 SOC estimation and estimation error under cyclic discharge

在本实验中，将安时积分法估算的SOC 值与EKF 算法和IEKF 算法的估算结果进行对比。图4(a)、(c)和(e)中3 条曲线分别为安时积分估算值、扩展卡尔曼算法估算值以及改进扩展卡尔曼算法估算值，从图中可以看出EKF算法收敛效果良好但跟踪效果一般，在曲线末端甚至出现SOC 值为负的情况，而IEKF 算法的收敛与跟踪效果都比较良好。图4(b)、(d)和(f)中的曲线分别为EKF 算法和IEKF 算法的估算误差值，从图中可以看出在收敛后扩展卡尔曼算法在10、25 以及35 ℃的SOC估算误差最大值分别达到4.83%、9.067%以及5.706%，不在误差允许范围之内，而在收敛后改进扩展卡尔曼算法在10、25 以及35 ℃的SOC 估算误差值分别低于1.566%、2.139%以及2.235%，在误差允许范围之内。

2.3 BBDST工况实验结果及分析

为进一步验证基于IEKF算法的SOC估算方法的收敛性和追踪性，本实验采用深圳市亚科源科技有限公司提供的BTS750-200-100-4 电池检测设备对中航锂电三元锂电池单体进行北京公交动态测试工况(Beijing bus dynamic stress test，BBDST)设置工况实验。BBDST 工况是对北京公交车进行真实数据采集得到的工况，具体采集了北京公交车起步加速滑行等各个环节的数据。BBDST 工况具体设置步骤见表2。

表2 BBDST工况参数及描述Table 2 Steps of BBDST working condition

由于本文是对锂离子电池单体进行研究，根据实际情况，将每步工况功率按比例缩小。在表2中，Ph是真实的北京公交车起步、加速、滑行、制动、急加速、停车等工况下的电池输出功率。由于本文是对锂电池单体进行实验，根据实际应用情况，对每步工况的Ph按比例进行减小，得到了Pc。Pc为本次对中航锂电三元锂电池进行实验所用数据。安时积分法、扩展卡尔曼算法和改进扩展卡尔曼算法的SOC初始值分别设定为1、0.8、0.8，实验结果如图5所示。

图5 BBDST工况EKF算法对SOC的估算及估算误差Fig.5 SOC and estimation error of EKF algorithm under BBDST condition

由图5(a)、(c)和(e)可知，在以上3种温度下，EKF 算法和IEKF 算法的收敛时间都在80 s 以内。在收敛后，EKF算法估算曲线和实际曲线变化趋势基本一致，但在曲线末端不能进行精准跟踪。而IEKF算法在收敛后估算曲线和实际曲线基本重合，能较好地模拟锂离子电池在BBDST 工况下的放电情况。图5(b)、(d)和(f)中的曲线分别是EKF 算法和IEKF 算法的估算误差值，从图中可以看出在收敛后扩展卡尔曼算法在10、25 以及35 ℃的SOC估算误差最大值分别为4.1%、4.007% 以及4.654%，不能满足特种机器人锂离子电池的工程需求，而在收敛后改进扩展卡尔曼算法在10、25以及35 ℃的SOC 估算误差值分别低于3.004%、1.354%以及2.046%，这验证说明了IEKF 算法在估算锂离子电池SOC中的准确性和优越性。

3 结 论

特种机器人锂离子电池精确的SOC 估算对于其在复杂工作环境下的电池状态监测管理十分重要。本文对特种机器人锂离子电池建立了Thevenin 等效电路模型来表征其动态特性。在此基础上，进行了HPPC 实验以及BBDST 工况实验来辨识Thevenin模型中的参数和验证IEKF算法的精准收敛性及追踪性。在不同电池容量状态下，IEKF 算法均能准确估算锂离子电池SOC，并且在3 种温度下，HPPC 工况以及BBDST 工况中IEKF算法的最大误差分别控制在2.235%和3.004%以内。实验结果验证了该算法在对锂离子电池进行SOC 估算时具有较高的精度，完全能够满足特种机器人锂离子电池在复杂工作环境条件下的估算要求。特种机器人锂离子电池SOC 的精准估算促进了相关BMS 的发展，使得特种机器人在工作条件下的电池容量状态能被更精准地监测与控制，提高了特种机器人的工作效率与其锂离子电池的使用效率，避免了因电池剩余容量估算误差过大而造成的一系列特种机器人作业问题。