基于局部通信的有限元分析并行算法优化研究

吴建平，蒋 涛，彭 军，银福康，杨锦辉

(1.国防科技大学 气象海洋学院，长沙 410073； 2.国防科技大学 计算机学院，长沙 410073)

1 引 言

连续问题一般难以直接进行求解，为此，通常采用有限差分、有限体积及有限元等方法进行离散求解。有限元法将连续的求解区域离散为一组数量有限且按一定方式相互联结的单元，典型的单元形式为多边形，其顶点称为结点。各单元之间可以存在面、边或节点的重合，同时，单元本身可以采用不同形状，并在每个单元内采用假设的近似函数，以分片方式表示整体上的未知函数，未知函数及其导数在各个结点上的值作为求解时的未知量，即自由度，从而使一个连续问题转化为自由度有限的离散问题。

由于有限元方法不受计算对象在几何、物理与边界条件上的限制，且计算精度高、使用灵活，因而自最初主要针对弹性力学与结构分析以来，已逐步扩展到航空、航天、造船、建筑、机械、海洋、气象、水利、核能和地质等众多应用领域。在采用有限元离散求解时，如果是采用时间依赖的微分方程建模的问题，且对时间采用隐式时间离散，或者是金属成形与结构疲劳分析与损伤等非线性与动态问题，则一般还需要求解线性方程组。因此，有限元离散的一般计算过程可以描述为

uk + 1=uk+(Kk)-1{Nk(uk)+pk}

(1)

式中uk为第k次迭代时的未知向量，pk为第k次迭代时的已知向量，Kk为第k次迭代时的总刚度矩阵，Nk为计算uk影响的线性或非线性算子，且

(2)

(3)

式中Ge为单元e的结点到全局结点的映射，如对单元e的第m个结点，其对应的全局结点编号为n，则Ge第m行第n列上的元素为1，该行中其他元素全为0。……