双调和映射的α阶全星形性与全凸性
2021-03-20 02:25:02龙波涌王麒翰
安徽大学学报(自然科学版)
2021年2期
龙波涌，许 灵，王麒翰
(安徽大学 数学科学学院, 安徽 合肥 230601)
F
(z
)=|z
|G
(z
)+H
(z
),(1)
F
关于原点是α
阶全星形的.
F
是α
阶全凸的，记F
∈K
(α
).特别地, 若α
=0, 那么F
是全凸的, 即F
∈K
.对于β
>1,A
的子类M(β
)和N(β
)分别定义为
F
(z
)属于双调和映射类M(β
).这里，L
为线性复算子，被定义为
F
(z
)属于双调和映射类N
(β
).注意到, 文献[7]中研究了线性复算子L
的相关性质, 其中F
∈C
.算子L
保调和和双调和性, 并给出如下引理.
(2)
(3)
不过, 文献[8]的结尾提出了如下的一个非常有趣的问题.
问题
若G
∈S
, 那么W
(z
)的单叶半径是多少？
1 系数不等式
为了证明后面的定理, 需要下面两个引理.
(4)
所以，有
z
≠0,有
r
∈(0,1),设F
:=r
G
(z
)+H
(z
),(5)
则
(6)
对每个z
=r
ei≠0都成立, 且F
在每个|z
|=r
上都单叶.
注1
当α
=0时, 定理1与文献[19]中的引理6是一致的.
(7)
证明
保向性的证明与定理1类似.其中, 当z
≠0时,有
从而,有
(8)
对每个z
=r
ei≠0都成立, 且F
在每个|z
|=r
上都单叶.
2 双调和映射的两个子类
首先给出下面两个引理.
引理4
若双调和映射F
(z
)满足
(9)
其中：1<β
≤3/2, 则F
(z
)∈M(β
).引理5
若双调和映射F
(z
)满足
(10)
其中：1<β
≤3/2, 则F
(z
)∈N(β
).下面研究双调和映射类M(β
)和N(β
)中满足上面两个不等式的函数的星形性和凸性.
证明
由定理1知, 若双调和映射F
满足
(11)
β
满足
β
≤6/5.由定理2知若双调和映射F
满足
b
=0.有
β
满足
β
≤4/3.
证明
对于1<β
≤3/2, 0≤α
<1, 由定理1和引理4知, 要找到最小的α
满足
b
=0.即
(12)
注意到(12)式的右边关于k
是递增的, 有
α
满足
b
=0.即
从而有
3 半径问题
首先给出几个等式
(13)
α
)r
+(2α
-10)r
+(3α
-5)r
+(15-11α
)r
+(11α
-13)r
+3-3α
=0在(0,1)内的唯一根.
由定理1, 考虑
其中
(14)
注意到W
在|z
|<r
内单叶且α
阶全星形当且仅当W
在|z
|<1内单叶且α
阶全星形.考虑
S
(r
)≤1, 即证T
(r
)≤3.结合(13)式, 有
(15)
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