深挖知识方法的联姻 凸显学科整体性教学

周建玲 陆传佩 洪竟雄

[摘  要] 文章主要以常见的几何计算题为背景，深挖问题中出现的不同几何背景及常见的解题方法，引导学生从不同角度去寻找不同的解题突破口，带领学生享受几何知识方法之间联姻的魅力，真正做到“做一题，得一法，会一类，联一片”.

[关键词] 整体性教学;中考;几何背景;联姻

整体性教学是一种关联的、融通式的教学，其特质为问题设计的整体性、知识建构的立体性以及数学思想方法的系统性. 在整体性教学中，教师要对数学学科知识进行上下贯通、左右关联、系统融合，从而让学生展开深度学习，真正做到“做一题，得一法，会一类，联一片”.

问题设计

例 如图1，在△ABC中，AC=AB=，BC=4，以AC为斜边作等腰直角三角形ACD，连接BD，则BD的长为______.

此题虽常规，但其不仅蕴含了平面几何中的通性通法，还渗透了近期中考数学的一些热点几何背景及解法. 对此，教师可引导学生抓本题的核心，联想通性通法：①处理等腰三角形的常见辅助线——“三线合一”;②初中解三角形的核心方法是将三角形转化为直角三角形;③三角形中45°角的特殊性.

以此为切入点，笔者引导学生一次次冲破思维与方法的禁锢，打通了初中中考试题中常见的“一线三垂直”“12345模型”“手拉手模型”等几何背景，带领学生灵活运用不同的解题方法，享受不同的几何知识方法间联姻的魅力以及思题、解题的无穷快乐！具体展开如下解题方法的探究.

问题解决

1. 瞧见“等腰与直角三角形”，联想“一线三垂直”

过A作AE⊥BC于E，将等腰三角形ABC分成2个直角三角形（如图2），得BE=EC=2，AE=1，即可破解等腰直角三角形ADC，得CD=AD=.

进一步思考，因△ADC为等腰直角三角形，结合“一线三垂直”，可通过点D构建垂直与全等（如图3）.

方法1：如图3，△AMD≌△DNC，设DN=x，便可得到AM=x，DM=CN=1+x，利用EC=2得到x=，再过点D作DH⊥BC于H，可将BD放在Rt△BDH中，即可得到BD=.

方法2：如图4，△AMD≌△CND，设CN=x，可得AM=x，DM=DN=1+x，利用EC=2得x=，在Rt△BDN中，计算得到BD=.

2. 结合45°，深化“一线三垂直”

方法3：如图5，倍长CD至N，得△ACN为等腰直角三角形，构建△AMN≌△CEA，便可得到AM=CE=2，MN=AE=1. 再过点D作DH⊥BC于H，由三角线中位线可得DH=，BH=. 在Rt△BDH中，计算得到BD=.

方法4：如图6，取AC的中点F，得△ADF为等腰直角三角形，构建△AMF≌△FND，便可得到AM=FN=0.5，DN=MF=1. 再过延长DN交BC于H，得到DH=，BH=. 在Rt△BDH中，计算得到BD=.

3. 妙用45°，联姻三角函数

上述解法主要是借助直角顶点D在图形中的位置构造了“一线三垂直”模型. 继续引导学生观察几何图形，发现图形蕴含了另一种几何背景——“12345模型”. “12345模型”的實质是：①α+β=45°;②tanα=;③tanβ=，知二求三. 关于验证方法：①初中阶段最好放在正方形网格或等腰直角三角形中去验证（如图7）;②可用高中两角和的正切公式tan（α+β）=去推导验证. 于是本题还可按如下方法求解.

方法5：如图8，在Rt△DHC中，∠ACD=45°，可推知α+β=45°，又tanα=，由公式可得tanβ=. 又因DC=，所以DH=，BH=. 在Rt△BDH中，可计算出BD=.

4. 等腰添旋转，常恋“手拉手”

常见的“手拉手模型”主要有以下几种情况（如图9）. 受“手拉手”几何背景的启发，可联想到构建“手拉手”模型解决本问题.

方法6：如图10，围绕BC构建等腰直角三角形BCF，连接AF，CF. 因==，则可推知△ACF∽△DCB，于是BD=. 作AE，AG分别垂直于BC，BF，于是得到AG=BE=2，GB=AE=1. 在Rt△AGF中，计算得到AF=，于是BD=.

方法7：如图11，以BC的中点为原点建立平面直角坐标系. 易得点A（0，1），B（-2，0），C（2，0）. 设D（x0，y0），由DA=DC=，构造方程组求出点D的坐标，从而求得BD的长.

问题反思

以上通过一道平面几何中常规的计算边长的问题，引申出4种不同的几何背景和7种解题策略，让学生做题、思题、探题，灵活架构起不同几何背景间解决方法的联系，有效地“回避”了平面几何教学中常见的碎片化教学. 通过整体性教学，教师以“滚雪球”的教学方式帮助学生形成了更大的知识团与方法集，这或许才是教师“推动、发展、培育”学生数学核心素养的真谛所在！

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