δ-BiHom-Jordan-李超代数的阿贝尔扩张和T*-扩张

郭双建

（贵州财经大学数学与统计学院，贵州贵阳550025）

作为李代数的推广，Hom-李代数的引入源于物理学和李代数的双重需要，其概念由HARTWIG等在研究拟李代数时引入，并将其作为研究Witt 代数和Virasoro 代数变形的一部分［1-4］。

文献［5］引入了Hom-李超代数的概念，给出了Hom-李超代数的允许分类，验证了Hartwig-Larsson-Silvestrov 定 理 的 分 次 情 形。 随 后，文献［6］研究了Hom-李超代数的表示和上同调理论，计算了Witt 超代数的导子和第二上同调群。文献［7-9］也研究了Hom-李超代数的相关性质。

BiHom-代数是一种其定义结构上的恒等式被2 个同态α，β扭曲的代数。这类代数作为一种范畴方法被引入，是对Hom-代数的推广。文献［10］得到BiHom-代数的基础概念和结果。文献［11］使BiHom-代数得以延续和发展。随后，BiHom-李代数、BiHom-李超代数、BiHom-李着色代数和BiHom-Novikov 代数在文献［12-14］中有更多的应用。

作为Jordan-李超代数的推广［15］，文献［16］引入δ-Hom-Jordan-李超代数的定义，并详细研究其表示和T*-扩张。文献［17］引入δ-BiHom-Jordan-李超代数的定义，并研究其表示。本文继续研究δ-BiHom-Jordan-李超代数的性质，引入δ-BiHom-Jordan-李超代数的阿贝尔扩张，证明与任意阿贝尔扩张相关联的表示和2-余循环。利用上同调理论和表示δ-BiHom-Jordan-李超代数的T*-扩张，证明特征不为2 的代数闭域上的有限维幂零二次δ-BiHom-Jordan-李超代数与幂零δ-BiHom-Jordan-李超代数的T*-扩张等距。另外，从上同调角度给出了T*-扩张的等价性。

1 预备知识

定义1［17］δ-BiHom-Jordan-李超代数为由向量超空间L、双线性映射[⋅，⋅]：L⊗L→L和2 个线性映射α，β：L→L组成的四元组(L，[⋅，⋅]，α，β)，对任意的x，y，z∈L，有

当δ=1 时 为BiHom-李超代数；当δ=−1 时 为BiHom-Jordan-李超代数。

定 义2［17］（i）若α和β为代数态射，则称δ-BiHom-Jordan-李代数(L，[⋅，⋅]，α，β)是保积的，即对 任 意 的x，y∈L，有α([x，y])=[α(x)，α(y)]，β([x，y])=[β(x)，β(y)]。……