素特征域上Witt 代数及极大子代数的2-局部导子

姚裕丰，王惠

（上海海事大学文理学院，上海 201306）

代数的导子指该代数上满足Leibniz 法则的线性变换。代数上导子代数的结构对该代数的研究至关重要。SEMRL[1]最先引入代数的2-局部导子概念，并研究了2-局部导子的性质。代数的2-局部导子对该代数性质的研究有重要作用。

近年来，在特征零的代数闭域上对一些重要李代数的2-局部导子的研究取得了一定进展。AYUPOV 等[2]证明了有限维半单李代数的每个2-局部导子都是导子，且每个维数大于2 的幂零李代数均存在一个非导子的 2- 局部导子。YUSUPOV[3]证明了无限维Witt 代数的每个2-局部导子均为导子，并给出了无限维李代数的一些非导子的2-局部导子的例子。ZHAO 等[4]证明了秩为n的Witt 代数及其部分子代数的2-局部导子均为导子。

在素特征p＞3 的代数闭域F上，Witt 代数W1是变量X的截头多项式代数的导子代数，这是WITT 在20 世纪30 年代发现的素特征域上第一个非典型单李代数。Witt 代数的每个导子均为内导子[5]。更一般地，文献［6］确定了素特征域上Jacobson-Witt 代数的2-局部导子。本文研究Witt 代数及其极大子代数的2-局部导子。

下文第1 部分给出素特征域上Witt 代数的定义及基本性质。第2 部分证明Witt 代数的每个2-局部导子都是导子，从而将文献［3-4］中的主要结果推广至素特征域。第3 部分证明Witt 代数的极大子代数的每个2-局部导子均为导子。

1 预备知识

假设F是特征p＞3 的代数闭域，所有线性空间（代数）均定义在F上且是有限维的。

1.1 李代数的导子和2-局部导子

设L是域F上的李代数，则L上的导子D：L→L是L上的线性变换且满足：