Boussinesq 方程行波解的存在性

徐园芬，章丽娜

（1.浙江万里学院基础学院，浙江宁波 315100；2.湖州师范学院理学院，浙江湖州 313000）

0 引 言

用于描述重力下浅水长波的传播、一维非线性晶格中长波的传播以及非线性弦中长波传播的不适定Boussinesq 方程[1]

文献［2］应用滤波和正规化技巧，得到了式（1）的六阶Boussinesq 方程[1]

其中，ε为小参数；文献［3］获得了六阶Boussinesq 方程弱的非局部孤立波解；文献［4］对式（2）进行了分析和数值研究。目前尚未见与式（2）的行波系统动力学行为研究相关的报道。本文将利用平面动力系统方法的分支理论［5-13］，研究式（2）在不同参数下的精确行波解，旨在获得与Boussinesq 方程相对应的行波系统的相图分支，证实Boussinesq 方程存在孤立波解和周期波解。

1 与Boussinesq 方程相对应的行波方程

为研究式（2）的行波解，做以下变换：

其中，c为波速。将式（3）代入式（2），并关于ξ积分4次，取积分常数为零，化简后得

式（4）等价于以下行波系统：

式（5）的首次积分为

下面将通过定性分析，得到式（5）的相图分支。

2 行波系统的相图分支

为分析行波系统式（5）的平衡点类型，令

易得函数f(φ)的图像，见图1。

图1 f (φ)的图像Fig.1 The graphs of the function f (φ)

由图1 可知，当|c|＞c*时，式（5）有4 个平衡点，分 别 为(φ1，0)，(φ2，0)，(φ3，0)和(0，0)，其 中φ1＜0 ＜φ2＜φ3；当|c|=c*时，式（5）有3 个平衡点，分别 为(φ1，0)，(φ2，0)和(0，0)，其 中φ1＜0 ＜φ2；当|c| ＜c*时，式（5）有2 个平衡 点，分别为(φ1，0)和(0，0)，其中φ1＜0。令λ(φ*，y)为式（5）的线性系统特征值，则

由平面动力系统理论及式（7）可知，f′(φ*)的符号和平衡点(φ*，0)的位置共同决定平衡点(φ*，0)的类型（如鞍点、中心及退化奇点等）。进一步，可得式（5）的相图分支，如图2 所示。

3 行波解的精确参数表达式

图2 式（5）的相图分支Fig.2 The bifurcation of phase portraits of formula（5）

由式（5）及其首次积分式（6），可得式（2）的某些行波解的精确参数表达式。……