广义二次矩阵与其幂等矩阵线性组合幂等性的非平凡解

陈梅香,叶铃滢,杨忠鹏

(1. 莆田学院 数学与金融学院,福建 莆田 351100; 2. 福建师范大学 数学与信息学院,福州 350007)

1 引言与预备知识

Farebrother等[1]给出了广义二次矩阵的定义,常见的幂等矩阵、对合矩阵、二次矩阵[2-4]均为广义二次矩阵的特例. 设n×n为复数域上n×n矩阵的集合,用r(A)和tr(A)分别表示矩阵A∈n×n的秩和迹,用En表示n×n单位矩阵(在不易混淆的情形下用E表示).

对给定的幂等矩阵P(=P2≠0)∈n×n,如果存在α,β∈,使得

A2=αA+βP, 且AP=PA=A,

(1)

则称A为由P和α,β确定的广义二次矩阵. 满足式(1)的矩阵集合记为

Ωn(P;α,β)={A∈n×n|A2=αA+βP,AP=PA=A},

(2)

(3)

文献[5-8]研究了两个幂等矩阵线性组合的幂等性. 广义二次矩阵与所有幂等矩阵的集合Ψ={Q∈n×n|Q2=Q}关系密切[1].

命题1[1]设A∈n×n是满足式(1)的广义二次矩阵,且η2=4β+α2≠0,则当复数ρ=η-1且时,ρA+σP∈Ψ.

由文献[1]中定理6及证明知,在约束条件η2=4β+α2≠0下,命题1给出了ρA+σP是幂等的一个充分条件. 文献[1]研究表明,当η2=4β+α2=0时,2A-αP是幂零的,但未讨论一般ρA+σP∈Ψ的情形.

命题2设A∈n×n满足式(1),如果ρ=0,则ρA+σP∈Ψ当且仅当(ρ,σ)=(0,0)或(0,1).

证明：充分性显然. 只需证明必要性. 由ρA+σP=σP=(σP)2及σP的不同特征值为0或1知结论成立. 证毕.

(ρ,σ)=(0,0)或(0,1)称为ρA+σP∈Ψ的平凡解,(ρ,σ)(其中ρ≠0)称为ρA+σP∈Ψ的非平凡解.

例1由文献[1]知,满足A2=A,A2=-A,A2=P,A2=-P的A分别为幂等、斜幂等、广义对合、斜广义对合矩阵. 由式(1),(2)和文献[1]中引言知,这些矩阵分别属于Ωn(P;1,0),Ωn(P;-1,0),Ωn(P;0,1),Ωn(P;0,-1),且相应的η2=4β+α2≠0. 表1列出了这些特殊二次矩阵的ρA+σP∈Ψ的非平凡解.

表1 文献[1]中一些特殊二次矩阵的ρA+σP∈Ψ的非平凡解(ρ,σ)

当A2=-A时,(ρ,σ)=(-1,0)也是ρA+σP∈Ψ的非平凡解. 表明当η2=4β+α2≠0时,由文献[1]中定理6不能得到ρA+σP∈Ψ的所有非平凡解.

如果

(A-aP)(A-bP)=0,AP=PA=A,

(4)

则称A是由给定的幂等矩阵P(=P2≠0)和a,b∈确定的广义二次矩阵[9-11]. 由(A-aP)(A-bP)=A2-(a+b)A+abP知A∈Ωn(P;α,β),其中α=a+b,β=-ab. 故式(4)的定义与文献[1]中式(1)等价.

命题3[9]设Qi∈Ωn(P)是式(4)意义下……