Sobolev空间子集上的采样集条件

李慧敏,李水艳

(河海大学 理学院,南京 211100)

0 引 言

在数字信号处理中,一个连续信号通常用其离散样本{f(xj):j∈J}表示,其中J是一个可数索引集. 采样问题主要包括下列两个目标[1]:

2) 找到有效、快速的数值算法,从X上的样本中恢复任何函数f∈V.

本文主要考虑采样集满足什么条件时函数才可从样本中稳定地恢复. 如香农采样定理[2]：对每个f∈L2()和其可通过从样本点{f(xj):j∈}中被完全恢复,其中在上和L2()上的收敛性一致.

引入采样不等式：

(1)

其中c和C是独立于f的正常数. 不等式(1)表明,采样值f(xj)的微小变化只引起了f的微小变化,即采样是稳定的,从其样本中重建的f是连续的. 因此,当不等式(1)成立时,集合X={xj:j∈J}是函数类V⊆L2(d)的稳定采样集[1,3].

目前,关于采样集稳定性的研究已有许多成果. 例如: Aldroubi等[1]研究了在平移不变空间中的非均匀采样和重构; 文献[4-5]研究了加权有限生成移位不变空间的采样集条件和应用；文献[6-7]分别讨论了在乘法生成的移位不变空间中随机抽样和重构问题以及有界导数信号的随机抽样和近似问题.

本文主要讨论Sobolev空间子集Vα中函数f采样集的稳定问题,即在X={xj:j∈J}采样集上找到刻画条件,使得式(1)成立. 在d上定义函数类

Vα∶={f|f在d上连续,‖Df‖L2(d)≤α‖f‖L2(d)},

一般地,假设采样值{f(xj):j∈J}可精确测量并不符合实际,一个更好的假设采样数据形式为

(2)

(3)

因此,本文只需考虑对任意的函数f∈Vα,采样集X={xj:j∈J}要满足使式(3)成立的条件.

1 预备知识

定义f在d上的L2范数为

定义2表明,任何采样点到其下一个相邻点的距离最多为2γ. 因此,γ是密度的反……