两种特殊坐标系下Laplace 算子的推导

田大平，汪 敏

（江汉大学 人工智能学院，湖北 武汉 430056）

Laplace 算子在黎曼流形上的表达式可以简单地理解为将散度算子作用于梯度算子的一个常见的二阶椭圆微分算子［1−2］。在欧氏空间中的直角坐标系下，Laplace 算子的表达式形式非常整齐，即为对各个变量的二阶偏导数的和。但是，在三维欧氏空间的柱坐标系和球坐标系下，Laplace 算子的表达式就比较复杂。文献［1］以习题的形式给出了Laplace 算子在球坐标系下的表达式，但没有给出具体的推导过程。关于Laplace 算子在各种标架场下的表达式的推导已有许多不同的方法。文献［3］从Hamilton 算子出发推导出Laplace 算子在球坐标系下的表达式；文献［4］从Green 公式出发应用变分法推导出Laplace 算子在柱坐标系下的表达式；文献［5］采用几何拼装法推导出Laplace 算子的表达式；文献［6］研究了在球坐标系和柱坐标系下作用于矢量函数的Laplace 算子。另外，Laplace 算子的应用涉及面非常广泛，如文献［7］研究了正交标架丛上Laplace 算子的应用，文献［8］研究了Yamabe 流上Laplace 算子特征值的单调性应用。除了在数学的各分支学科上的应用外，在计算机科学、物理学等学科中也会涉及到Laplace 算子的应用，如文献［9］研究了应用Laplace 算子设计高通滤波器进行图像增强，文献［10］研究了基于原子体积场Laplace 算子对金属玻璃剪切转变区的预测。

从黎曼几何的角度出发，Laplace 算子就是将散度算子作用于黎曼流形上的光滑函数的梯度场，其表达式非常简单。本文将黎曼流形特殊成欧氏空间，可以通过计算直接推导出Laplace 算子在直角坐标系下的表达式。……