一维有限深方势阱中的束缚态*

陈晓云

(金陵科技学院理学院 江苏 南京 211169)

1 引言

一维有限深方势阱中粒子的运动性质，一直是量子力学中的基础问题[1～3].在所有量子力学教材中，如文献[1,2]，都明确指出一维有限深对称方势阱中运动的粒子至少存在一个束缚态，且不需要满足任何条件，但是在文献[3]中，作者认为一维有限深对称方势阱中运动的粒子存在束缚态需要满足一定的条件，该结论与量子力学教材的结论存在矛盾.本文指出了文献[3]存在的问题，同时给出了一维对称、一维半壁有限深势阱中运动的粒子存在多个束缚态满足的条件.

2 一维有限深方势阱中束缚态能级的求解

2.1 对称方势阱

一维有限深方势阱示意图如图1所示.

图1 一维有限深对称方势阱

考虑一个质量为m的粒子在一维有限深对称方势阱中的运动，对称方势阱可表示为

(1)

其中，2a为势阱的宽度，U0为势阱深度.

在势阱内(|x|≤a)和势阱外(|x|>a)，薛定谔方程为

(2)

(3)

式(2)可化简为

(4)

其中k1，k2均为大于零的实数．方程(4)的通解为

(5)

A1,A2,B1,B2,C1,C2为待定常数．

考虑束缚态条件|x|→时，ψ(x)→0，和波函数在x=±a处的连续性条件

(6)

(7)

可得

(8)

式(8)有非零解的充分必要条件是

(9)

化简得

(10)

(11)

式中g为常量，且α,g的量纲均为1．对于束缚态，因为0

2.2 半壁有限深方势阱

将1.1节中的U(x)换成下述式(12)的形式，就可以考虑一质量为m的粒子在一维半壁有限深方势阱中的运动

(12)

重复上述推导，可以得到能量E满足的超越方程为

(13)

下面利用Mathematica软件用图解法求解超越方程(11)与(13).

2.3 图解法求解超越方程

令

利用Mathematica的画图命令：Plot[f(α),{α,0,1}],可以得到……