利用图像法巧解一类均匀带电双圆环问题

郑金

(凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500)

对于单个均匀带电圆环在垂直于圆面的轴线上产生的电场，其场强变化具有一定的规律性.首先定性分析轴线上的场强变化特点，可大致画出圆环一侧轴线上的场强随距离变化的图像如图1所示.由于在圆心处场强为零，在无穷远处场强也为零，那么场强必然先增大后减小，因此在轴线上的场强存在最大值，其位置离圆环很近，由此可判断场强从零开始很快增大，然后缓慢减小.由于圆环两侧的场强方向相反，则在定义域内的整个图像关于原点对称，可根据对称性画出圆环另一侧轴线上的场强矢量随距离变化的图像，位于横轴的下方.

图1 均匀带电圆环一侧轴线上的场强分布

由图1可见，在原点O处的场强为零，其余各点处的场强均大于零，那么原点O关于场强最大值位置对称点c处的场强必大于零.由此推知，在点O与c之间，到场强最大值位置相等距离的任意两点a和b处的场强不相等，而是左侧a点处的场强小于右侧b点处的场强，即Ea

还可进行定量推导证明.设圆环半径为R，带电荷量为Q，在过圆心O垂直于圆环平面的轴线上有一点P，到圆心的距离为OP=x，利用对称性和微元法可推导出轴线上的场强随距离变化的关系式为[1]

为了证明Ea

利用数学公式和一定的数学技巧，通过大量的数学运算，可推出一个等价不等式

4l4+4R2l2-7R4<0

这是关于l2的一元二次不等式，利用抛物线的性质和求根公式可得

对有关两个相互……