复合场中的滚轮线

王朝祥 宋婕

(北京市第八十中学 北京 100102)

滚轮线，是轮子滚出来的曲线，是数学里众多摆线中的一种.半径为R的轮子在水平面上沿一直线纯滚动，轮子边缘上任一点P的运动轨迹便是一条滚轮线[1].

1 滚轮线的数学特征

建立坐标轴如图1所示，t=0时质点P在坐标原点，以轮子的转角θ为参数，摆线方程为

不难发现，滚轮线的跨度为2πR，质点P的最大高度为2R.

图1 匀速纯滚动

ρ=4R

2 复合场中的滚轮线

在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，一质量为m,带正电q的小球在O点由静止释放，小球在重力和洛伦兹力作用下运动，其运动也是一条滚轮线(下滚轮线)，如图2所示.

图2 复合场中的滚轮线

为了解释滚轮线的成因，我们做如下分析：

带电小球因重力而下落，有了速度便会受洛伦兹力作用，形成曲线运动.如图3所示，将小球在运动过程中任意时刻的速度v进行分解.

图3 复合场中带电小球速度分析

综上可见，带电小球的运动可以分解为水平向右的匀速直线运动和半径为R的匀速圆周运动，其运动轨迹为滚轮线也就不难理解.

若以一恒力F(匀强电场中的电场力Eq，或者电场力Eq与重力mg的合力)代替重力场，带电小球的轨迹也是滚轮线[2].

下面通过两个典型问题体验一下与滚轮线相关的定量运算.

【例1】水平放置的两个平行金属板MN和PQ间存在匀强电场(场强大小为E)和匀强磁场(磁感应强度大小为B)，磁场方向垂直纸面向里.质量为m,电荷量为q的带电微粒(重力可忽略)只在电场力和洛伦……