矩阵半张量积在求解复线性系统的特殊Toeplitz解中的应用

丁文旭，李 莹，王 栋，王 涛

(聊城大学 数学科学学院，山东 聊城 252059)

0 引言

对于多线性乃至非线性系统问题计算的数值方法,矩阵表示一直是一个无法绕行的瓶颈问题。对此,程代展研究员提出了矩阵半张量积这一有利工具。相比矩阵普通乘法,矩阵半张量积打破了矩阵维数的限制,并且满足准交换性。 目前,矩阵半张量积的应用越来越广泛,函数矩阵微分、非线性多元映射的泰勒展式、向量场和函数等运算都可通过矩阵半张量积来实现[1]。此外,在非线性控制系统的对称性[2,3]、非正规反馈线性化[4]、布尔网络的拓扑结构[5,6]、系统的能控能观性的判断[7]、布尔网络的稳定和镇定设计最优问题[8]、图染色[9]以及博弈论的逻辑动态过程和策略最优化[10]等问题的研究中均体现出矩阵半张量积的合理性、有效特殊型矩阵在许多领域有广泛的应用,其中形如性和优越性。本文将半张量积的应用范围进一步拓展到复线性矩阵方程的特型解的计算问题中。

的矩阵被称为Toeplitz矩阵,其在工程中有大量应用。例如,在雷达、声呐探测等目标定位领域,有赖于利用Toeplitz矩阵将阵列观测数据的相干函数进行重排,构造一满秩的Toeplitz矩阵,再利用奇异值分解来提高对相干信源的DOA估计性能[11]; 利用四元数Toeplitz矩阵重构算法解决电磁矢量阵列的相干信源波达方向估计[12],此外,在偏微分方程和卷积型积分方程的求解、pade逼近和控制理论中的最小实现问题中也起着十分重要的作用[13]。

线性矩阵方程可以被用来解决结构设计、振动分析、自动控制等诸多实际问题,关于矩阵方程的理论及算法已有大量的文献[14-16]。……