渗透分类讨论思想，提升数学解题能力

江苏省清江中学 刘小峰

初中阶段，绝对值、方程和函数等知识涉及多种形式的结果和表达，由此，分类讨论思想应运而生。分类讨论思想并不是应用在某一类题型中，而是应该作为学生考虑问题、解决问题的基本途径。我将分类讨论思想的几种应用方法进行了总结，与大家分享。

一、变形转化，简便运算

很多运算法则或者求方程的解等题目涉及多个运算结果，这时候我们就需要进行分类讨论，对原式进行变形和转化，实现简便运算。通过这种方法，学生做题的确定性会增强，对解题速度和正确率提升都很有帮助。

例如，在七年级上册第二章学习“整式的加减”时，其中绝对值问题是难点。要计算绝对值，首先应该将绝对值脱去，转换成学生学习过的普通整式，进而简化计算。同时，由于数轴上距离原点相等的点所代表的数的绝对值相同，这就涉及多种情况，需要用到分类讨论思想解决。如题目：若|a|=2016，|b|=2，求a+b 的值。显然，只知道a 和b 的绝对值，是无法确定a、b 的值进行求解的。一开始，大家还无法从小学阶段的单一解形式中脱离出来，试图从题目中寻求更多的信息找到答案。但事实上，这样的思维方式很难达到解题的目的。因此，我从分类讨论方面引导大家：在题干中，我们知道的信息只有a 和b 的绝对值，那么a 和b 的值就分别有两种可能，这就导致（a+b）的值有4 种可能。这时候只要把4 种结果标示清楚，就可以解决问题了：①当a=2016，b=2 时，a+b=2018；②当a=2016，b=-2 时，a+b=2014；③当a=-2016，b=2 时，a+b=-2014；④当a=-2016，b=-2 时，a+b=-2018。

绝对值等符号存在时会对学生的判断和计算造成影响。这时我们就需要根据题干条件对式子进行分类讨论，总结所有可能的情况，实现正确求解。

二、分析限定，活用性质

方程、函数和解不等式等知识点具有特定的性质，在解题中，活用这些性质会对我们的思考和分类产生正面影响，帮助我们合理地进行分析，但是也要注意对其限定条件进行分析，保证解题正确。

例如，九年级上册第22 章学习“二次函数”的相关内容，无论是从因变量的取值范围还是从顶点来看，二次函数的性质都是经得起推敲的。如例题：已知函数y=(m-1)x2+(m-2)x-1（m 为实数）的图像和x 轴只有一个交点，求m 的值。解题时，很多学生都是从二次函数出发，由函数的对称性可知，若图像和x 轴只有一个交点，那必定是顶点位于x 轴，即方程有且仅有一个零点，那么Δ=b2-4ac=(m-2)2+4(m-1)=0，解出答案m=0。从解题过程和思路能够看得出来，学生对于二次函数的对称性和顶点等性质的把握还是比较明确的；但最重要的一点却被学生忽略了：应用二次函数知识解题的前提是二次项系数不为0，所以应该补充：当m-1=0，即m=1 时，函数y=(m-1)x2+(m-2)x-1 为一次函数，其图像与x 轴有且仅有一个交点，符合题意。经过这样的分类讨论得出最终结果，当m=0 或m=1 时，函数图像和x 轴只有一个交点。

二次函数和不等式的性质及应用都比一次函数要复杂。学生要注意分析其限定范围，灵活运用性质，充分遵从互斥性原则，做到分类时不重不漏，才能实现正确解题。

三、探究参数，确定范围

参数不同，方程、不等式及函数的性质也会有所变化。因此，在参数不确定的条件下，对学生的性质把握能力要求就更高。在解参数未知的题型时，大家要重视分类的合理性。

通常来说，带参数的不等式求解问题是非常复杂的，但只要学生深入掌握基础知识，同时按照合理的逻辑进行多级分类讨论，就一定能够攻克这样的题型。

方程和函数等很多知识和题型都会应用分类讨论思想。教师一定要在解题教学中向学生合理渗透分类讨论思想的应用范围和应用方法，这样学生才能合理掌握。