谱配置法求解常微分方程初值问题的超收敛性

钱轶昀 查媛媛 蔡康文 刘艳勤 王心怡 易利军

摘  要： 研究了常微分方程初值问题的谱配置方法. 针对一阶和二阶线性常微分方程初值问题，基于Legendre-Gauss点提出了相应的谱配置方法，并给出了具体的计算格式. 最后，通过一些数值算例探讨了所提Legendre-Gauss谱配置方法的超收敛性.

关键词： 谱配置法; 初值问题; 超收敛

中图分类号： O 241.8    文献标志码： A    文章编号： 1000-5137（2021）01-0001-07

Abstract： In this paper，we study the spectral collocation method for the initial value problems of ordinary differential equations.Based on Legendre-Gauss points，we propose the spectral collocation method for the initial value problems of first-order and second-order. We also give the specific computation form for our method. Finally，to explain the superconvergence properties of the Legendre-Gauss spectral collocation method. We discuss several numerical examples.

Key words： spectral collocation method; initial value problem; superconvergence

0  引 言

谱方法是求解偏微分方程的一类重要数值方法，它已被广泛应用于科学及工程计算的众多领域[1-4].谱方法的最大魅力在于它具有所谓的“谱精度”，即如果原方程的精确解越光滑，那么近似解将以的任意幂次速度收敛于精确解，其中为基函数的个数.由于谱方法具有高精度，它在微分方程时间离散上的应用备受关注.特别地，文献[5-8]的作者提出了求解非线性常微分方程初值问题的一系列谱配置方法，并讨论了其收敛性.

众所周知，利用有限元方法求解微分方程时会出现所谓的“超收敛”现象，即数值误差在某些特殊点处的收敛速度远远高于整体误差的收敛速度，这些特殊点则称之为超收敛点.目前有关有限元方法的超收敛研究已经非常成熟[9-11]，但关于谱方法的超收敛研究并不多见，仅有少量的文献如[12-14]等报道过.文献[15-16]详细地讨论了各种高阶谱插值的超收敛性质，但没有讨论相应谱配置法的超收敛性.

将针对上述问题，基于Legendre-Gauss点构造相应的谱配置方法，给出具体的计算格式.将数值解按照……