矩阵等价、相似、合同的区别与联系

李伯忍

摘 要：矩阵的等价、相似与合同在线性代数课程教学中占据非常关键的地位，但是学生学习过程中对这一部分的内容往往很难准确把握。为此，本文针对它们之间的区别和联系进行探讨，为学生对这些概念的理解提供一定的帮助。

关键词：等价;相似;合同

中图分类号：G4     文献标识码：A      doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.04.065

《线性代数》是大学数学中的一门非常重要的必修基础课程。学好这一门课程，不仅有利于对学生的理解和逻辑推理能力的培养与训练，而且对其后续专业课程的学习也发挥着极其重要的支撑作用。

本文将就线性代数课程矩阵之间的非常重要的关系：矩阵的等价、相似与合同进行讨论，着重探讨三者之间的区别与联系，为学生对这些概念的理解提供一定的支持。

1 基本概念

矩阵等价定义：假定矩阵A和B为同型矩阵，若存在可逆的矩阵P，Q，满足PAQ=B，那么称A和B是等价的。

矩阵相似定义：假定矩阵A和B均为n阶方阵，若存在可逆的矩阵P，满足P-1AP=B，那么称A和B是相似的。

矩阵合同定义：假定矩阵A和B均为n阶方阵，若存在可逆的矩阵P，满足PTAP=B，那么称A和B是合同的。

2 区别和联系

（1）矩阵的等价只是要求矩阵A和B是具有相同的行和列的矩阵，不要求必须是方形矩阵，但是相似和合同则要求矩阵A和B必定是同阶的方形矩阵。

（2）等价的矩阵、相似的矩阵以及合同的矩阵均是同可逆或者同为不可逆。

（3）等价的矩阵、相似的矩阵以及合同的矩阵均满足反身性、对称性和传递性。

（4）矩阵的等价、相似以及矩阵合同实际上均是矩阵和矩阵之间进行初等变换，只是初等变换的要求有些区别。……