中心应力法“应力泡”作图与分析方法

关成尧 赵国春 刘晓燕 郑承志 白相东 姜纪沂 袁四化

摘 要：针对城市地质学中“天际线”地质规划工作需要，讨论城市建筑或大型工程建筑“应力泡”（或称建筑应力场）的几何学研究方法。在地层均质弹性假设条件下，针对圆形载荷构建 “中心应力法”绘制简易的“应力泡”及图形速查法相关图版，实现对地下空间“应力场”的规划，从几何学上实现“应力泡”和地下空间“沉积地质模型”对接。讨论了“建筑载荷应力场”的内涵及应用意义，应力场存在两种“场”的表达方法，一个是应力迹线，一个是等应力线。“应力泡”的理论内涵和功用涉及到地下空间沉积体的物性禀赋、全生命期建筑和地下应力场之间相互作用、（外加）“应力泡”和原位应力场的复杂的动态场变、地震动载荷与“应力泡”的相互作用、斜坡区地应力破坏、“应力泡”和流体场耦合动态变化等问题。“应力泡”分析既可以用于已经建设城市的建筑应力场（包络线）空间结构，也可以预测规划城市或工程的理论建筑应力场。

关键词：城市“天际线”;“应力泡”;建筑应力场;滑移线场;地质规划

Abstract： To meet the need of “skyline” geological planning in urban geology， this paper analyzes the geometric research method of “stress bubble” （or architectural stress field） in urban buildings or large engineering buildings. Under the assumption of homogeneous elasticity of stratum， a simple “stress bubble” and a graphic quick-check chart are drawn for the central stress method in a circular-shape construction， so as to realize the planning of underground space “stress field” ， and the matching of “stress bubble” with underground space “sedimentary geological model” geometrically. To discuss the connotation and application significance of “building load stress field”， there are two ways to express the stress field， one is the stress trace line， the other is the iso-stress line. Theoretical connotation and functions of “bubble stress” involves physical endowment of underground space sedimentary bodies， interactions between the whole life period buildings and the underground stress field， complex dynamic change of the “stress bubble” and in-situ stress field， interaction between the seismic dynamic load and “stress bubble”， slope destruction， and dynamic change of “stress bubble” and fluid field coupling and other issues. Stress bubble analysis can be applied to the spatial structure of the building stress field （envelope） of the already constructed cities， and predict the theoretical building stress fields in city and project planning.

Keywords： city “skyline”; “pressure（stress）bubble”; “building load stress field”; slip-line field; geological planning

2008年汶川地震慘痛的教训告诉我们，城乡规划工程地质工作是一项非常重要的工作， 可为城乡规划与布局、选址、规划用地评价等提供必要的基础资料，是城乡规划的基础（官善友等，2008）。近些年，城市地质迅速发展，城市地质规划中经常会涉及“天际线”问题，即城市土壤沉积物经过调查以后，确定可用于城市建筑最高载荷（楼层）的方法。城市“天际线”规划本身对于计算的准确度并不如建筑设计计算本身要求的精度，其规划本身也有一定模糊性和总体性，换句话说，“允准楼层高度”的计算并不用具体到这个楼的形状细节和结构细节，而是取一个相对严格些（有一定保险系数）的“平均楼”就可以了。“天际线”概念主要服务于地质规划，地质规划并不是新生事物，我国在专业设置中曾经考虑过了这种地质规划的倾向性专业方向，目前农林和师范院校还设有“资源环境与城乡规划管理”专业（牛健植等，2005;孙丰英等，2013），属于自然地理学的延伸。地表建筑的“压力泡”（莱格特，1985）构成地下空间的“应力场”，基层地质工作者或者地下空间规划人员获得一个简单易行的理解和简单的评估方法是非常有利的。本文试图服务于以图件的形式编绘出建筑载荷导致的应力分布状况，以期望在未来发展中，以此结合具体“地层序列”及其“物理参数”对这个应力分布作用下的地下空间稳定性做出定量分析，这无疑是一个未来可行的工作手段。另外，从城市地质教育角度来讲，本文编制的制图方法用于“城市地质学”“地质灾害动力学”“城市规划”等课程的配套绘图实习也有其价值。再者，这些绘图方法本身也可以用于建筑与城市规划方面的简单计算评估。

1 圆形载荷“应力泡”计算

对于圆柱状建筑，其载荷在地面的投影为圆形或环形，或者大致属于方形载荷近似为圆形的当量载荷的情况，可以用本文的“圆形载荷”（后文的某形状载荷均指建筑载荷在地面的投影为圆形或环形）进行计算，这将不是一个很坏的近似。

1.1 载荷中心的应力估算法

由于建筑载荷在均质弹性地层中的应力分布在理论层面符合“球形结构”，被城市地质领域称为“压力泡”（莱格特，1985）（本文建议在城市地质领域称为具有更宽内涵的“应力泡”，以和应力场的概念相连接，并和本文采用的以应力作为表达的方法相对应），球形应力结构（球状应力泡）在均质弹性地层中是一个不坏的近似。由于采用均质弹性的球形结构假设，那么就可以依据建筑载荷在地面的投影的圆形或环形的中心部位应力量值而确定“应力泡”的尺度范围，也就是如果确定了建筑载荷在地面的投影的圆形或环形的中心点下部不同深度的应力量值就可以确定“应力泡”的尺度系列，这里称其为“中心应力法”。

根据理论土力学（太沙基，1960），已知单位建筑载荷q的前提下，可以计算“载荷中心部位”向下延伸不同深度的理论载荷，如公式（1）所示。

式中：R为圆形建筑载荷的圆半径，D为载荷中心点位置向下的计算深度，也就是在R已知的情况下，建立了中心点位置的计算深度为D处的中心点位置的最大主应力σ1的幅度值。式（1）中本没有0.75这个系数，后来太沙基（1960）经过与实际应力分布的对比，加入0.75系数作为修正，就符合了圆形载荷的实际应力分布情况。

1.2 图形速查法

依据太沙基修正后的理论（公式1），为了构筑“图形速查法”相关图版，将公式（1）中的右侧剔除单位建筑载荷q，其余部分就定为“中心部位载荷系数”，这个系数是无因次数值，在数值上等于“中心部位載荷应力”和单位建筑载荷q的比值，是随着深度变化的。经计算后的“中心部位载荷系数”图版如图1所示。图1中是不同半径的圆形载荷作用下深度和“中心部位载荷系数”之间关系的速查图。

图1可供各个已知承担载荷面积的对应半径下不同深部的“中心部位载荷系数”数值。从图1可见，“应力泡”尺度是建筑物占地尺度的函数，尺度越大，这个无因次“应力泡”的深度越大。计入单位建筑载荷q之后的应力量值就产生明显的差别。

2 中心应力法“应力泡”绘图

2.1 数据准备

在具体城市“天际线”规划工作中，可以采用试算法对几个典型的载荷和尺度进行深部应力推算，并在此基础上估算各个地层在这个“应力泡”作用下的地质力学行为，因此，合理的（或者大致的）“应力泡”尺度是分析的第一步。具体可以依据已知的或者试算的单位载荷和建筑物半径估算“应力泡”，根据图1中的数据关系进行“应力泡”绘图。本文以50 m半径的“圆柱形”建筑的圆形载荷为例进行说明，根据图1中的50 m半径的“圆柱形”建筑载荷“中心部位载荷应力系数”曲线，在实际应用中经常选画0.8、0.6、0.4、0.2等4条线和0.5、0.25、0.125等3条线，也可以两者结合绘制，0.5、0.25、0.125等3条线在建筑与城市规划领域应用较多，分别是对应应力系数（地下应力和地表建筑单位载荷q的比值）1/2、1/4、1/8线。那么，由图1可查0.8、0.6、0.4、0.2等4条线分别对应47 m、72 m、103 m、163 m。0.5、0.25、0.125等3条线分别对应85 m、140 m、213 m深度。如果承担载荷的面积对应的半径R不是整数，可以采用插值方法用图1进行计算。

2.2 应力泡绘图方法

为了图件的简洁，本文选画0.5、0.25、0.125等3条线，分别是1/2、1/4、1/8应力系数的情况，经过图1速查图的数据，3条（应力泡）线分别对应的对称中心的深度分别为85 m、140 m、213 m。

具体的绘图步骤如下：

（1）根据图1所查阅的C1、C2、C3数据以及“圆柱形”建筑体的地表投影圆半径R，根据绘图纸选用合适的比例尺，然后按照比例绘制纵横坐标，确定A、B、C1、C2、C3各点的位置（图2）。

（2）分别过A、B两点和Ci点作圆，获得目标应力系数系列“应力泡”的理论图形，分别标注目标应力系数系列（如1/2、1/4、1/8）于其上，并获得目标应力泡的顶点D1、D2、D3。

3 建筑应力场与应力网格绘图方法

“应力泡”所导致的应力场有些特殊性，一种是以“等应力线”绘制的“应力场”，表达的是σ1的数值等值线，另一个是以σ1和σ3的方向表达的应力迹线。

3.1 建筑应力场的等应力线绘制

（1）制作长方形纸板，纸板的长边大于C3和D1之间的距离。

（2）制定单位建筑载荷q的比例长度（如果需要绘制多个载荷方案，则这个不同单位载荷之间成比例处理）。

（3）应用长方形纸板的长边连接Di点和圆i上目标位置，并使得长方形纸板的“直角尖端点”恰恰在目标圆i上，并根据建筑物单位载荷q，分别在圆i上选取σ1为目标的应力系数系列（如1/2、1/4、1/8）的矢量长度。理论上可以根据一个盆地的平均侧压系数推算σ3，并绘制按照侧压系数（李传亮等，2017）为比例关系估算的σ3的大小，但一般事实上，这个σ3只有方向意义，而没有大小意义。这样就获得了局部应力的理论值（σ1数值是可靠的，而σ3数值是根据侧压系数估算的）。沿着“长方形纸板”的长边和“短边”分别从“直角尖端点”绘制目标长度的σ1和σ3的矢量（各个应力圆分别是1/2、1/4、1/8倍的q），以此重复绘出各个需要点的“应力矢量”（σ1和σ3的矢量），绘制好的应力矢量（σ1和σ3的矢量）如图3所示。

在图2和图3中，最大主应力σ1是准确的，而σ3数值是示意性的，σ3的方向是可靠的。

3.2 建筑应力场的应力迹线绘制

（1）应力迹线绘制

在获得应力矢量（σ1和σ3的矢量）（图3）之后，还可以应用“插值”与“趋势线”方法绘制σ1和σ3的应力轨迹线，如图3中的虚线所示。这样就有一个相对直观的应力网格的几何形态供后续分析与使用。具体的画线采用“就近平行”和“两条矢量之间”取对称和“趋势插值”的方法即可。

（2）两种“场”表达方法的说明

图3 中所画的σ1正应力矢量所构成的建筑应力场是“等应力线”（应力泡）所构成的应力场表达方式，“等应力线”（应力泡）则是一个“等值线场”表示方法，这是地质学界一般所不熟悉的。而应力网格则是建筑应力场对应的“方向应力场”表达方式，这种表达方式为地质学界所熟知。

地质学界所熟知的应力网格（苏生瑞等，2002;安欧，1992）绘制后，就可以根据需要对应力网格展开具体应用，如在此基础上进行滑移线场等稳定性分析计算，滑移线场以应力迹线为背景，而不是以等值线为依据。以此等值线的应力数值进行岩石塑性流动的计算，以此进行地下沉积结构的应变评估以及据此产生的地表沉降量计算，依此进行地下水渗流场的评估等等，这些计算内容都是可行的，这些内容超出了本文的范畴，不在此赘述。

对于建筑应力场的两种表示方法，一定程度上部分属于建筑应力场的特性，但又不是独有特性，例如哈弗奈势断层（刘志宏等，2011;Hafner，1951）中复杂应力场就表达了不同的非均匀应力分布下局部应力场的畸变，这些“迹线”表达的是方向关系，而非大小关系。我们较为乐观地发现，“应力泡”给了我们一个“表达应力大小”的空间场。如果说，“方向场”的作用是能够更好地帮助我们确定断层的展布关系，那么体现“大小关系”的应力场则能够更好地帮助我们理解区域应变的空间关系和塑形应变场空间关系，使得我们能够建立动态应力场和动态应变场之间的耦合关系。

4 方形—长方形载荷的当量计算

在实际的建筑载荷计算中，往往需要计算方形和长方形投影的建筑载荷的“应力泡”。地表的方形变形在深部也逐渐演化成按照圆形分布，而形成差不多的球形“应力泡”。可以用等面积法折算成圆形载荷给予近似的计算，等面积法其实质也就是当量总重量法。

方形载荷的地表投影正方形的边长为a，则当量圆的半径Rc为：

对于长宽比不大于2的长方形建筑载荷，也可以用等面积法大致折算成圆形载荷来绘制“应力泡”，对于“细长条的建筑载荷”，就需要专门二维模型进行计算，超出本文讨论的范畴，笔者将另文论述。

对于环形载荷或者“环方载荷”（回字形载荷），则不建议直接用等面积法来计算。环形载荷外围半径不大于内圆半径的2倍时，则按照环形建筑的外围半径来计算，然后折算成专门的当量载荷进行计算，这是由于一般环形载荷的地基确是封闭圆形，以分担上部的载荷，对于地基也是环形的载荷，误差主要表现在地表1/3半径深度的单位载荷的估计上。当“环形载荷”外围半径不大于内圆半径的2倍时，需要折算成二维“细长条环形”载荷进行计算，也超出本文讨论的范畴。

对于“环方载荷”（或回字形载荷），环形载荷外围边长不大于内环边长的2倍时，也可以用等面积法大致外围边长折算成等环形，然后再根据前面环形载荷的折算法，折算出当量应力，只是多了一步折算而已。同理，环形载荷外围边长大于内环边长的2倍时需要折算成二维“细长条环形”载荷进行计算，也超出本文讨论的范畴。

前面的论述大致说明了本文方法的适用条件。事实上，对于建筑工程领域的载荷计算，追求更加精确的计算是更好的选择，但对于城市地质领域的地质规划，这个近似的处理导致的与真实值之间的差别是可以接受的。

5 主要用途

5.1 “应力泡”的用途

本文的中心应力法“应力泡”（建筑应力场）作图与估算方法，主要用途可以涉及如下内容。

（1）和深部地质结构联系起来

本文的绘图法最大实用价值是能够把建筑载荷和深部地质结构联系起来，深部地质结构恰恰是地质学领域人群所擅长的内容，这就必将产生了一个“应力泡和深部地质结构相结合的城市地质分析和规划方法”，本文并不能系统地阐述这样的工作方法，但预期随着“应力泡”及建筑应力场分析计算方法的完善，以及地下空间建模及实例的展开，甚至由于信息技术的发展，方便快捷的绘图方法必将成熟，以及相关软件也会应运而生。

（2）深层还是浅层先破坏？

对于一个城市建筑的建设，如果是在第四纪沉积盆地上建设的城市，沉积物的弹性模量、强度等指标都体现了一般越在地表越是脆弱（关成尧等，2013），而建筑载荷的各种变形效应却是越向深部变形越弱，这就产生了一个“越向深部越安全”的基本结论，也是整体性的结论。但也存在大量的例外，由于沉积物“相”差异的存在，不同沉积物的性质差异很大，这些差异就不再总是符合前述的整体性规律。深部的软弱层和深度之间的关系就成为一个重要研究内容。如相同的软弱层随着深度加大，其原地的散体骨架应力属性和“应力泡”这种次生应力属性都是如何变化的？这些规律的认识是解决问题的关键。深层还是浅层先破坏？这是个问题。这里的深层并不是地质学中的“深地”概念，而是“应力泡”所涉及的百米深度范围内的“表层”还是数十米的中层，还是数十米深部的“塑性流变层”的问题，一般数米深度的薄弱层是可以通过地基建设而回避掉，10 m以深层的软弱层一般就无法通过地基建设回避掉，需要作为“天际线”规划的约束条件。

（3）建筑应力场分析

通过第二条，似乎建立一个软弱层和深度之间的对应关系或者表格就可以了，但是，地下结构的复杂度却不限于此，有的地下地層倾斜、非等厚，同时不同的建筑形态的载荷属性也不同，有的可以简化为二维模型，有的则是三维模型，其驱动变形的量有较大差异，这就似乎需要以建筑应力场研究作为目的建立相对准确但又不乏实用的分析方法和分析工具。

5.2 建筑应力场的理论内涵及用途

既然提出建筑应力场概念，就需要简单讨论建筑应力场和地质规划之间联系问题，也就是有助于理解和分析以下相关问题。

（1）沉积体“物性禀赋”和建筑“全生命期”相互作用分析

本文写作的主要目的是服务于城市地质领域，但未来随着时间的推移，当城市地质的规划机构能够提供给建筑行业较为细致的“地下沉积体结构图”，并能够提供这些“沉积体”的“物理参数”时（这正是城市地质努力的方向和发展目标）。那么，未来的“建筑与城市规划”完全可以建立在这种“精细的地下沉积结构的物理数据”的基础之上，在此基础上评估地下空间的“物质禀赋”（尤其是“物性禀赋”）对于建筑全生命期中建筑本身的响应也非常必要。

（2）地下空间和地表建筑的应力场关系分析

随着建筑与城市规划逐渐走向地下空间的利用和建设。地下空间建设本身就在地下表层高低起伏的建筑应力场中穿行，地表建筑导致的建筑应力场直接影响了地下空间建筑周围围岩的变形，同时，地下空间建筑的开掘和建设本身也是对建筑应力场的改造，反过来影响地上建筑的稳定性和安全性。

（3）建筑（外加）应力场和原位应力场的复杂动态场变分析

对于地下空间规划领域，建筑（外加）应力场和原位应力场之间是如何耦合并随着时间变化的，这方面的研究或预测的工程意义也非常大，对于中长期地下空间规划与预测问题，建筑应力场随着城市发展的动态变化对于地下空间结构的中长期（数十年）蠕变问题也至关重要。建筑应力场和原位应力场耦合后首先形成一个弹性应力场，如果载荷足够大，还可能形成一个随着时间推移的塑性应变场（关成尧等，2012），这个塑性应变场本身又会反作用于这个随时间变化的动态应力场。形如城市地铁等地下工程就在一个个复杂的“应力泡”经过叠加和蠕变形成的地下建筑应力场的动态场的限制下形成并演变着。

（4）地震动载荷与建筑应力场的相互作用分析

研究表明，地下应力和灾害有一定的相关性，例如，地下应力和能量高值区分布与岩溶塌陷高风险区分布之间有一定的对应关系， 反映了地质灾害之间相关性的存在（陈静等，2005）。从建筑工程抗震的角度来讲，地震等动载荷的加载响应是和地震时间对应的建筑应力场所决定的场地下进行的。应力不同，应力的方向不同，响应就不同，因此可以认为，动态应力场的震时瞬时应力场在地震动载荷的作用下场地效应非常复杂。砂土液化就是地震动应力对砂土场地的瞬时应力场和瞬时流体场的一种响应，而在城市地上建筑区，这个地下场地被复杂化了，地下空间的利用和建设是对场地的进一步复杂化。

（5）斜坡区的地应力破坏与地质规划

目前，邻近山地地区发展城市已经是很多城市边缘区开始遇到的问题，甚至是新城市选址的重要地质环境，尤其在我国西南地区，在这种斜坡微地貌环境下的前述场地还要考虑斜坡的重力因素和潜在的破坏因素，甚至这些斜坡经常伴随着复杂岩层，复杂岩层进一步将应力泡系统碎片化和复杂化，这些都将会对建筑应力场提出新的挑战。斜坡的地应力破坏问题常用滑移线场理论和方法来分析，事实上滑移线场仅仅是构造应力场的简化形式，构造应力场比滑移线场有更加宽阔的内涵（关成尧等，2018），前文3.2讨论的两种“场”的表达方法恰恰就体现了构造应力场本身意涵的广泛性。

（6）建筑应力场和流体场的耦合与动态变化

由于大型水利工程修建，其“应力泡”虽然不像城市建筑应力场那样的呈现碎片化特征，但其影响更加深远，其对地下建筑应力场和流体场的影响都较大，水库地区还可能由于枯水季和盛水季的变化而周期性地影响建筑应力场和流体场的耦合变化。这个领域的应用属于对前文5.2节（3）所论及的动态场的扩展与深化。

5.3 建筑应力场的未来发展

城市地下空间的建筑应力场必然会有一天走向数值化，但图形化有利于理论前的把握与应用，也有利于理论深化本身，这些几何学方法有一天会使得形成数值化的难度要远远小于对理论的数值化，至少也是一种可选途径，因此，本文的几何学及其后续的发展大概也就是城市地下空间走向数值化过程中的一个几十年过渡期吧，或者说几何法和数值法可以在一定历史阶段齐头并进。

6 讨论

（1）“天际线”的概念

“天际线”是地质学转型条件下提出的新概念，实际上是建筑载荷的允准线。天际线的允准载荷折算成地下空间就成了“允准应力泡”的包络线，因此“允准应力泡”的包络线事实上就是以建筑载荷作为连接的倒影。从概念上来讲，建筑应力場是比“允准应力泡”的包络线更加宽泛的内容，研究也必将更加深入。“允准应力泡”的包络线只是一个静态的上限值，而建筑应力场则是一个实际值和动态值。

（2）相似性问题

从图1至图3可见，这个无因次“应力泡”的分布规律图看似不由载荷决定，而是由尺度和形状决定，事实上，如果存在塑性变形，那么就不再是严格的球形。就整体来讲，这个无因次的中心部位载荷系数能够显示各个尺度的载荷所扰动的空间尺度，这一点能够体现其相似性价值。具体的应力矢量大小则体现了不同载荷的力学比例关系，如两个相邻的不同载荷之间比较，如果尺度一样，那么无因次“中心部位载荷系数”就基本一样。如果涉及两个载荷的力学合成，就需要应用应力矢量进行合成，此时就不能再应用简单的相似性概念，而是需要合成性概念。

（3）建筑应力场的包络线

对于已经建设城市的实际建筑应力场，可以绘制某特定剖面的建筑应力场的地应力包络线。现实中，研究城市地质的地质工作者可以制作一系列某比例尺下的不同尺度的无因次的“应力泡”分布规律图这类可重复利用的图版（最好是透明的），甚至制作一系列的不同单位载荷的图版数套，在具体的地下空间的地层剖面图（和“应力泡”相同比例尺）上叠置后，既可以方便地绘制出该特定剖面的建筑应力场的地应力包络线。这个地应力包络线就是实际的建筑应力场，可以为后续可能发生的地下空间利用提供应力场依据。

（4）“两种应力场”的意义辨析

应力迹线的表示方法，在一般意义上，计算断层的宏观展布方向是目标合意的，也是够用的，误差可以接受，但对于小尺度领域偏差就会比较大，比如，对于微破裂的方向经常是和围压是耦合的关系，而且有明显的历史继承性，本身和围压或者σ3有关，并且破裂是一种耦合关系（关成尧，2012），这种情况下就需要“应力大小”关系来支撑。对于大地构造应力场，基本可以简化为各处应力大小基本一致的问题来讨论就够了。但是对于小尺度地质空间应力场的讨论，大地构造应力场各处应力大小基本一致的简化处理习惯就不能很好地解决问题了，这就需要“应力泡”等这类“等应力线”模式进行研究或者计算。“应力泡”的实质就是“等应力线”，是应力大小度量的线。因此，讨论小尺度地质空间的应力场问题时，形如“应力泡”的这种等应力线的场的表达模式对基础地质领域有很多借鉴意义，换句话说，“应力泡”事实上是一种理念，这种理念不仅仅可以用于本文的“天际线”规划。如果把图3中的两种方法组合在一起，那么，就成了一种更加复杂表达，既能够表达大小，又能够表达方向，这方面的分析方法和利用还需要进一步探讨。

7 结论

（1）本文针对城市地质学中“天际线”地质规划工作需要，讨论城市建筑或大型工程建筑“应力泡”（或称建筑应力场）的绘图几何学研究方法，使建筑应力场和地下空间的沉积地质模型对接成为可能。

（2）在地层均质弹性假设条件下，构建绘制“应力泡”的方法，制作了图形速查图版，可以在速查图版之上选择一些关键并常用的数据绘制建筑载荷导致的地下“应力泡”，并可以绘制最大主应力的方向和大小。

（3）建筑应力场有两种表达方式，一个是应力迹线方法，一个是等值线方法，各有特色和各自的服务方向，也就有各自的应用意义。

（4）建筑应力场能应用于全生命期建筑和地下空间的关于应力场之间相互作用、建筑（外加）应力场和原位应力场复杂动态场变、地震动载荷与建筑应力场相互作用、斜坡区的地应力破坏、建筑应力场和流体场耦合动态变化等问题的研究。

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