对三角形中的最值问题的解法探究

宗 仲

(江苏省前黄高级中学国际分校 213161)

解三角形中的最值问题，在近几年各类考试中频繁出现，颇受命题者的青睐.要求学生们有较强的逻辑思维能力、准确的计算能力才能顺利解答.这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，主要运用三角形的内角和定理、正余弦定理、面积公式、三角恒等变形、三角函数的性质、基本不等式、导数等知识解题.下面举例说明三角形中的最值问题的常见解法，供各位参考.

例1在锐角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanA·tanB·tanC的最小值为____.

分析本题仅涉及三个角变量，优先考虑利用内角和定理实现消元，并结合两角和的正切公式挖掘出整体，从而实现整体消元.

解析因为sinA=2sinBsinC，

所以sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.

两边同除以cosBcosC，得tanB+tanC=2tanBtanC.

设tanAtanB=x(x>0)，则tanA+tanB=2x.

分析本题虽然依旧涉及三个角变量，但与例1相比较，所求的cosC不易表示，因此利用解三角形的基本思想：边角互化，将三个角变量转化成三个边变量，从而实现消元，再利用基本不等式求解.

由余弦定理，得

分析本题依旧是三个角变量，与变式1相似，用角无法实现消元，依然利用边角互化和三角恒等变形进行求解.

解析由正弦定理，得2a2+b2=2c2.

因为2a2+2b2-2c2=b2，

所以4abcosC=b2.

所以4acosC=b.

所以4sinAcosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.

所以3sinAcosC=cosAsinC.

所以3tanA=tanC.

分析本题与前面三题相比较，最困难的地方就是角关系的挖掘，需要借助于正余弦定理的混合使用才能实现.另外本题与前三题有一个本质区别，本题是求取值范围，所以自变量范围的确定需要精确，这点也是本题的一个易错点.

解析由余弦定理，得a2+b2-2abcosC-b2=ab.

所以a2-2abcosC=ab.

所以a-2bcosC=b.

由正弦定理，得s……