函数两种凸性定义等价性的今惑前世之初探

全 然

(河南工业大学理学院，郑州450001)

1 引 言

同济大学数学系编的高等数学是国内大部分理工科非数学本科专业采用的经典教材[1]，华东师范大学数学科学学院编的数学分析是国内大部分数学本科专业采用的经典教材[2]，两套教材都对函数的凸性进行了定义.文献[1]基于区间上任意两点的中点来定义函数的凸性，即所谓中点凸，而文献[2]则是基于任意两点的凸组合来定义函数的凸性.笔者在讲授高等数学[1]时，一直认为两种定义是等价的，但并没有去深究在什么条件下等价，为什么等价.

近来，笔者想探究这两种凸性定义是否等价的愿望愈发强烈，于是对两种凸性的定义进行了认真研究.为了讨论方便，如果没有特别指明，下文所述区间I既可以是闭区间也可以是开区间，区间I0表示去掉区间I的端点后形成的开区间，如果I是开区间，则I0=I.研究发现，詹森(Jensen)最早定义了函数的凸性并对其进行了系统研究[3-8]，该定义具体如下.

定义1[3-8]设函数f(x)在区间I上有定义，如果对I上任意两点x1,x2恒有

(1)

则称f(x)在区间I上是J凸的，或者称f(x)在区间I上是J凸函数.

文献[2]中凸性定义是国内外大多数文献所采用的定义[2,5-9]，具体如下.

定义2[2]设f(x)在区间I上有定义，如果对I上任意两点x1,x2和任意实数λ∈(0,1)恒有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

(2)

则称f(x)在区间I上是凸的，或者称f(x)在区间I上是凸函数.

从表面形式上看，以上两种定义并不一样.而且易知凸函数一定是J凸函数，反之未必成立.通过进一步探究高等数学和数学分析教材[1]、[2]、[10-12]发现: