解析几何中的数学思想

甘肃 彭长军

一、函数思想

解析几何中有不少问题，其中的某些点、线处在运动变化之中，这就引出了一些相互制约的量，它们之间可能构成函数关系，此时用函数的思想和方法去处理非常有效.

例1.已知抛物线y2=2x，设A(a，0)(a>0)，P是抛物线上的一点，且|PA|=d,试求d的最小值.

∴d=|PA|

二、方程思想

解决直线与二次曲线的位置关系问题，最常用的方法是将直线方程与二次曲线方程联立，消去一个未知数，变为关于x(或y)的一元二次方程，然后设直线与二次曲线的交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，再由韦达定理，得x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2).此法最大的特点就是利用韦达定理，避免了求交点坐标，它对解决与“距离”或“中点”有关的问题特别有效.

(1)求双曲线C的方程；

将①②代入，得k2=4，k=±2,∴所求Q点的坐标为(±2，0).

三、分类讨论思想

分类讨论思想是中学数学解题的重要思想，圆锥曲线中的许多问题都涉及分类讨论.分类问题的解题步骤一般为：①确定分类的对象和标准；②进行合理的分类;③逐类逐级讨论；④归纳各类结果.

例3.已知x2cosθ+y2sinθ=1,θ∈[0,2π),就θ的取值讨论方程是何种曲线及曲线的位置特征.

解：(1)当θ=0时，方程变为x2=1，即x=±1,此时方程的曲线是平行于y轴且距y轴为1的两条平行直线；

(7)当θ=π时，方程变为x2=-1，无实数解，此时方程的曲线不存在；

四、等价转化思想

1.对于直线与二次曲线的位置关系问题，可转化为直线方程与曲线方程的公共解的个数问题，于是可利用一元二次方程在给定区间上有无实数解的充要条件求解.

例4.已知直线l:y=kx-1与双曲线C:x2-y2=4，在下列各种情况下求实数k的取值范围.