中立型随机时滞微分方程截断Milstein数值解的强收敛性

李 琛，尤苏蓉

(东华大学 理学院，上海 201620)

0 引 言

随着现代科学技术的迅速发展，中立型随机时滞微分方程(neutral stochastic delay differential equation,NSDDEs)已被广泛应用于化工和空气动力学等工程领域及人口动力学领域[1-4]。NSDDEs在系数满足局部Lipschitz条件、线性增长条件和中立项的压缩映射条件下存在唯一解[5]。但是,NSDDEs很难求精确解，一般用数值解近似代替精确解[6-7]，所以其数值解的研究也得到人们越来越多的重视。

在方程满足线性增长条件时，数值解的经典算法如Euler-Maruyama法、倒向Euler-Maruyama法被广泛应用于微分方程的求解。这些形式的数值解一般会有较好的收敛性、稳定性等性质[8-11]。不过，当方程系数具有非线性特征时，这些性质会受到削弱，甚至数值解的收敛性也得不到保证。而截断思想可用于构建带有非线性系数方程的数值解。文献[12]首次引入截断Euler-Maruyama数值方法，用于研究随机微分方程；文献[13-14]进一步将其应用于随机时滞微分方程，使得数值解依矩强收敛于精确解，并且有较好的收敛率。但是，在很多领域仍然需要数值解有更高的收敛精度。文献[15]中首次引入Milstein方法用于研究随机微分方程，使其数值解有更高的收敛精度；文献[16-17]将此方法进一步引入带有高度非线性系数的随机微分方程。不过，带有非线性系数的NSDDEs在Milstein方法下是否收敛，还未有定论。本文将针对此问题加以研究，在使用与精确解相同假设的情况下，证明数值解是Lp强收敛的。

1 问题背景

向量x(t)、x(0)、ξ对应的集合表示分别记为x(t)、x(0)及ξ。

考虑非线性中立型随机时滞……