数学基础课里的中国剩余定理和Lagrange插值公式

刘合国，徐行忠，廖军

(湖北大学数学与统计学学院， 湖北 武汉 430062)

中国剩余定理在数学里起着重要的作用，是中国先贤智慧的结晶．该定理从数系的基本运算律出发，用最典型的“线性”方法解决问题，这种思想是极其深刻的．这些年来，我们在从事高等代数、初等数论、近世代数、代数学等课程的教学过程中，积累了对这个定理的认识，它们对理解这个定理是有作用的．现不揣浅陋，撰写成文，望同好者批评指正．

本文中采用的术语和符号都是标准的，按照文献[1-3]．

1 四首歌诀

《孙子算经》是中国古代的一部数学名著，成书于公元三世纪至五世纪左右，其卷下之26题，即是历史上有名的“物不知数”：

今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

《孙子算经》不仅给出了正确答案，而且给出了完美的解法：

答曰：二十三．

术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十．并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得．

凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五．一百六以上，以一百五减之，即得．

用现代语言重现这个解法，即同余方程组

的答案为: 140+63+30=233,233-210=23.

一般地，求解同余方程组

的几个关键数字是 70，21，15和105，答案为r：

70a+21b+15c=105q+r,1≤r≤105.

这个解法是非常奇特的！初看起来，它是迂回的，不是单刀直入的，但它抓住了问题的本质，找到了最关键的节点，通过线性组合得到答案．这是绝顶的智慧！南宋淳熙十五年(1188)，大型类……