截长补短法解决线段和差问题

深圳市西乡中学 杨小玲

截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的重要思想之一。截长就是将一条线段截成两段，补短就是将一条线段延长，使其与已知建立联系。

一、a+b=c 型

例1：如图1，△ABC 内接于⊙O，AB ＝AC，点D 为弧AC 上的动点，且在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD，求证：BH＝CD ＋DH。

图1

图2

解法一：在长边上截取较长的边

如图2，在BH 上取点M，使BM=CD，连接AM。

由图可知∠ABD=∠ACD，∵AB=AC，∴△ABM ≌△ACD（SAS），

∴AM=AD。∵AH ⊥MD，∴MH=HD，

∴BH=BM+MH=HD+CD。

解法二：在长边上截取较短的边

如图3，在BH 上取点M，使MH=HD，连接AM、CD。

∵AH ⊥MD，∴AM=AD。由图可知∠ADB=∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ADB，

∴∠MAD=∠CAB， ∴∠MAD-∠MAC=∠CAB-∠MAC，∴∠BAM=∠CAD，

又∵AB=AC，∴△ABM ≌△ACD（SAS），

∴BM=CD，∴BH=BM+MH=HD+CD。

图3

图4

解法三：延长较长的边

如图4，延长CD，过A 作AM ⊥CD 于M。

由图可知∠ABD=∠ACD，且AB=AC，

易证△ABH ≌△ACM，∴AH=AM，

易证Rt △ADH ≌Rt △ADM（HL)，∴DH=DM。

∴BH=CM=CD+MD=CD+DH。

解法四：延长较短的边

如图5，延长HD 至点M，使DM=CD，连接AM。

∵四点A、B、C、D 共圆，∴∠ABC+∠ADC=180°。

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

图5

由图可知∠ADB=∠ACB，∴∠ADB+∠ADC=180°。

又∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠ADM=∠ADC，

又AD=AD，∴△ADM ≌△ADC，

∴AC=AM，∴AB=AM。

又∵AH ⊥BD，∴BH=HM=HD+DM=HD+DC。

解法五：延长较短的边

图6

如图6，延长CD 至点M，使CM=BH，连接AM，

易证△BAH ≌△CAM，∴AH=AM，∠AHB=∠AMC，

易证Rt △ADH ≌Rt △ADM（HL），∴DH=DM，

∴BH=CM=CD+DM=CD+DH。

能够用多种方法来解决问题是能力提高的具体体现，教师要让学生从多种角度思考，这样才能不断提高自己的数学思维水平，另外，依托题干中的已知条件可以得出：AB=AC，∠ABD=∠ACD，这就不难想到构造两个三角形来证明全等，从而证明数量关系。以上方法中，解法一、三、五是最容易想到的，所以在教学中，老师可以引导学生用好已知条件快速找出最优化的解决方法，以提高自己的能力。

二、a+b=kc 或型

例2： 如 图7， 在Rt △ABC 中， ∠ACB=90 °，CD 平 分∠ACB，连接AD、DB，∠ADB=90°，求证：AC+BA= CD。

图7

图8

解法一：延长较长的边

如图8，延长CB 至E，使BE=AC，连接DE，则AC+CB=CB+BE=CE。

∵∠ACB+∠ADB=180°，∴四点A、B、C、D 共圆，∴∠DAC+∠DBC=180°。

∵∠CBD+∠DBE=180°，∴∠DAC=∠DBE。

∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=45°，

由图可知∠ACD=∠ABD=45°，

又∵∠DAB=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-45°=45°，

∴AD=BD，∴△DAC ≌△DBE，∴CD=DE，∠ADC=∠BDE，

∵∠ADC+CDB=90°，

∴∠BDE+∠CDB=90°，∴∠CDE=90°。

在Rt △CDE 中，

解法二：延长较短的边

如图9，延长AC 至E，使AE=CB，连接DE，

易证△DAE ≌△DBC，∴CD=DE，CE=AC+CB，

由此得到等腰直角三角形CDE，

图9

如图10，过D 作DG ⊥AC 于G，作DH ⊥CB 于H。

∵CD 平分∠ACB，∠G=∠GCB=∠CHD=90°，∴四边形GCHD 是正方形，∴GC=CH。

在Rt △ADG 和Rt △BDH 中，

DG=DH，AD=DB（法一中已证），∴Rt △ADG ≌Rt △BDH（HL)，∴GA=BH。……