矩阵秩的应用研究

李晓辉 任伟和 梁 岩

（1.石家庄理工职业学院，河北 石家庄 050228；2.河北工程技术学院，河北 石家庄 050091）

1 引言

矩阵的秩是高等代数中一个非常重要的概念，它反映了矩阵的一种故有性质，它也是处理其他一些相关问题的重要工具.通过本文，我们不仅可以对矩阵的秩有着更加深刻的认识和理解，而且还可以运用矩阵的秩处理一些与其相关的问题.

2 矩阵秩的定义

定义1（k阶子式.）在m×n的矩A中，任取k行k列 (k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.

由定义1可知，m×n的矩阵A共有Cmk⋅Cnk个k阶子式.

定义2（矩阵的秩）设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有的r+1阶子式（如果存在）全部为0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩为0.

3 矩阵秩的若干性质

性质1 若A为m×n矩阵，则 0≤R(A)≤min{m,n}.

性质2R(A)=R(AT)

性质3 若A~B，则R(A)=R(B).

性质4 若存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B，则R(A) =R(B)

性质5 max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)

证明：由于A的最高阶非零子式总是(A，B)的非零子式，所以R(A)≤R(A,B).同理有R(B)≤R(A,B)，综合二式可得max{R(A),R(B)}≤R(A,B).

设R(A)=r,R(B)=t.将A和B分别作初等列变换化为列阶梯型矩阵和，则和中分别含有r个和t个非零列，因此可设从而由于中只含有r+t个非零列，因此即R(A,B)≤R(A) +R(B).

性质6R(A+B)≤R(A) +R(B)

证明：设矩阵A，B为m×n矩阵，将矩阵 (A+B,B)进行初等列变换，可得

(A+B,B)~(A,B)

于是有R(A+B)≤R(A+B,B)=R(A,B)≤R(A) +R(B).

性质7R(AB)≤min{R(A),R(B)}

证明：设AB=C，则矩阵方程AX=C有解X=B，则R(A)=R(A,C)，而R(C)≤R(A,C)，因此有R(C)=R(AB)≤R(A).

又由于BTAT=CT，由上面的论述可知R(CT)≤R(BT)，即R(C)=R(AB)≤R(B)，综上可知R(AB)≤min{R(A),R(B)}.

性质8Am×nBn×s=O，则R(A)+R(B) ≤n.

证明：若R(A) =n，则方程组A X=O仅有零解，因此R(B)=0,⇒R(A)+R(B)=n； 若R(A)=r＜n，则方程组AX=O基础解系中包含n-r个解向量，因此R(B)≤n-r，则有R(A)+R(B)≤n.

4 向量组的秩与矩阵秩之间的关系

矩阵的秩与线性方程组的解的情形密切相关.对于n元线性方程组Ax=b，其无解的充分必要条件是R(A)＜R(A,b)；……