函数拐点偏移问题的探究

广东省中山纪念中学(528454) 邓启龙

函数极值点偏移问题是近几年高考的热点,也是高考复习中的重点和难点.类似地,函数也存在拐点偏移,处理极值点偏移和拐点偏移问题,有一些成熟有效的方法,比如构造对称函数、利用对数平均不等式等.文[1]通过对函数极值点偏移问题的本质进行探究,得到了处理函数极值点偏移问题的一种新方法.众所周知,函数的拐点也是导函数的极值点,那么函数的拐点偏移和导函数的极值点偏移之间有什么联系呢? 本文通过探究,得到了函数的拐点偏移和导函数的极值点偏移之间的关系.

1 极值点偏移

已知函数y=f(x)在(a,b)上连续,且在(a,b)内只有一个极值点x0.

定义1若对任意满足f(x1) =f(x2), 且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2,都有x0＜则函数f(x)在(a,b)上极值点x0左偏;

定义2若对任意满足f(x1) =f(x2), 且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2,都有x0＞则函数f(x)在(a,b)上极值点x0右偏.

2 拐点偏移

已知函数y=f(x)在(a,b)上连续,且在(a,b)内只有一个拐点x0.

定义3若对任意满足f(x1) +f(x2) = 2f(x0), 且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2,都有x0＜则函数f(x)在(a,b)上拐点x0左偏;

定义4若对任意满足f(x1) +f(x2) = 2f(x0), 且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2,都有x0＞则函数f(x)在(a,b)上拐点x0右偏.

3 深入探究

已知函数f(x)在(a,b)上单调递增且只有一个拐点x0,当x ∈(a,x0)时,f′′(x)＜0,当x ∈(x0,b)时,f′′(x)＞0,即函数f(x)在(a,b)内先上凸后下凸.函数f(x)的拐点x0也是导函数f′(x)的极值点,于是f′(x)在(a,b)上先递减后递增,且只有一个极值点x0.若f′(x)在(a,b)上极值点x0右偏,从直观图象上看,f′(x)的函数图象在x0右边部分比左边部分更陡峭, 即f′(x) 在(x0,b) 上比在(a,x0) 上变化快.因为f′(x)是f(x)函数图象上点的切线斜率,所以f(x)函数图象上点的切线斜率的变化速度越来越快,函数图象在x0右边部分比左……