矩阵分解思想解题意义探究

陈建华　卫闻逸　苏韵

【摘 要】矩阵作为大学数学的重要工具，其意义不言而喻。从知识层面而言，矩阵是研究线性方程组、二次型、欧氏空间等的基石;从解题角度来说，借助矩阵解题也是常用的解题手段。在大学数学的学习过程中，许多学生对解题的理解大多停留在套路和题型上，由于逻辑思维能力的欠缺而缺乏自主分析解题思路与方法的能力，导致解题过程比较僵化。本文结合“波利亚—如何解题”思想，借助分解思想对矩阵的解题展开讨论，从高次幂矩阵、行列式、正定矩阵三个方面探究矩阵分解在解题中的应用。

【关键词】矩阵分解思想;解题意义;高次幂;行列式

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）34-0001-02

数学解题先驱乔治·波利亚的《怎样解题》一书中的“怎样解题表”将数学解题分为四个阶段：理解题目、拟定计划、实施计划、验算结果。而分解思想能把复杂问题分解成若干简单子结构以简化解题过程。矩阵运算在高等代数中至关重要。本文从高次幂、行列式、正定矩阵三方面说明矩阵分解思想的解题意义[1]。

1   矩阵高次幂求解问题剖析

矩阵幂计算是典型的高等代数问题。低次幂矩阵可直接用矩阵乘法定义运算，高次幂矩阵可用特征多项式、二项式展开、数学归纳等方法求解，但这些方法较复杂，而约当标准型定理的诞生为矩阵分解求高次幂奠定了基础。求高次幂的关键是将复杂矩阵分解为简单矩阵：矩阵乘法结合律可解秩为1的矩阵高次幂问题，相似对角化定理和约当标准型定理可分别解可对角化和不可对角化的矩阵高次幂问题[2-4]。……