交换半环上广义矩阵代数的Jordan导子

庄金洪， 陈艳平， 谭宜家

(1. 福建商学院信息工程学院, 福建 福州 350012; 2. 福州大学数学与计算机科学学院, 福建 福州 350108)

0 引言

关于Jordan导子已有很多研究. 1957年， 文献[1]证明了特征不等于2的素环上每个Jordan导子都是导子， 该结果被推广到不同的环和代数上[2- 5]. 文献[4]证明了三角代数上 每一个Jordan导子是导子. 近年来， 人们致力于将三角代数的线性映射理论发展到广义矩阵代数的情形[6-8]. 广义矩阵代数的线性映射研究主要是在交换环的基础上进行讨论的， 但对于交换半环上广义矩阵代数的线性映射研究比较少. 因此, 本研究将探讨交换半环上广义矩阵代数的Jordan导子、 导子与反导子.

1 预备知识

定义1[9]设R是一非空集合, “+”与”·”是定义在R中的两个代数运算. 如果以下条件成立：

1) (R, +, 0)是一个交换幺半群， 其中0为R的加法恒等元；

2) (R, ·, 1)是一个幺半群， 其中1为R的乘法恒等元；

3) 对任意的a,b,c∈R, 均有a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc；

4) ∀a∈R, 0a=a0=0；

5) 0≠1.

则称R为一个半环， 记为(R, +, ·, 0, 1)或简记为R. 这里， 加法恒等元0称为半环R的零元， 乘法恒等元1称为R的单位元.

如果∀a,b∈R, 均有ab=ba, 则称半环R是交换的. 如果∀a,b∈R, 由a+c=b+c可推岀a=b,则称c是加法可消的. 如果R的所有元素都是加法可消的， 那么称半环R是加法可消的. 对于a∈R, 如果存在b∈R, 使得:a+b=0, 则称a是R中的可反元， 并记b=-a， 这时， ∀c∈R, 定义c-a=c+(-a).

定义2[9]设R为半环， (M, +, 0)为交换幺半群， 若存在从R×M到M的一个映射(r,m)|→rm， 满足下列五个条件， 即对于任意r,r′∈R,m,m′∈M， 均有:

Ⅰ)r(m+m′)=rm+rm′; Ⅱ) (r+r′)m=rm+r′m;

Ⅲ) (rr′)m=r(r′m); Ⅳ) 1Rm=m; Ⅴ)r0=0=0m.

则称M为半环R上的一个左半模， 简称左R-半模.

一个左R-半模M称为忠实的, 如果∀r,r′∈R, 当对于所有m∈M, 均有rm=r′m时,r=r′. 类似地， 可定义半环R上的右半模和忠实右半模.

设……