一类Copulas最优界的扰动及其相关性和对称性

李丽君，徐付霞

(天津工业大学 数学科学学院，天津 300387)

(1)

则C(u,v)=AC(u,v)+SC(u,v). 若SC为0，则称C是绝对连续的，如乘积CopulaΠ=uv和FGM CopulaCθ(u,v)=uv+θuv(1-u)(1-v)等是绝对连续的. 若AC为0, 则称C是奇异的, 如Frechet-Hoeffding上下界M(u,v)=min(u,v)和W(u,v)=max(u+v-1,0), 以及单点值给定的Copula最优上下界CU,CL:

CU(u,v)=min(u,v,θ+(u-a)++(v-b)+)

(2)

CL(u,v)=max(0,u+v-1,θ-(a-u)+-(b-v)+)

(3)

是奇异的[2]. Mesiar[3]研究了如下形式的扰动Copula

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

董永权[6]给出最大不可交换Copula的Spearman′sρ和Kendall′sτ秩相关系数的取值范围, 以及两种秩相关系数与 Blomqvist′sβ中位相关系数的关系. 徐付霞[7]研究了连续型广义FGM Copulas 的相关性度量, 说明ρ,τ,γ和β相比于线性相关系数的优越性. 徐付霞[8]基于Copula理论的随机变量的相关性, 研究了某个单点值给定时Copula 最优上下界的其他相关性度量φU,φL.本文旨在研究奇异型Copula增加扰动项后的新型Copula, 扰动参数对新型Copula 四种和谐性度量的影响.以Frechet-Hoeffding上下界M和W,CU和CL为例进行深入分析. 计算其和谐性度量和不可交换性度量, 得到扰动参数对和谐性度量和对称性的影响, 揭示增加扰动项后的奇异Copula的结构特点和性质.

目前, 国内外用Copula构造相关性度量研究的文献[9-11]很多, 但大多基于连续型的Copula, 如FGM Copulas, Archimedean Copulas, Clayton Copulas进行构造及相关性分析, 对奇异型Copula 研究较少. 本文对奇异型Copula增加扰动项构造新的Copula, 并对其相关性度量进行分析. 首先研究Frechet-Hoeffding 上下界添加扰动项构造新的Copula的和谐性度量. 进一步, 研究单点值给定的Copula的最佳上下界CU和CL增加扰动项后构造的新的Copula的和谐性度量和不可交换性度量.

1 基于M和W的扰动Copula相关性度量

令C(u,v)=M(u,v)=min(u,v)由公式(4)给出的扰动Copula

定理1 令C(u,v)=W(u,v)=max(u+v-1,0)，由式(4)给出的扰动Copula

(9)

的四个和谐性度量分别为:

证明：由式(5) 得到

由式(6)

所以

由式(7)，

由式(8)

综上，Copula增加扰……