三维Helmholtz 类方程柯西问题的一种基于修正核的数值解

何尚琴 冯秀芳†

(1. 北方民族大学数学与信息科学学院，银川 750021; 2. 宁夏大学数学统计学院，银川 750021)

0 引言

近几十年来，偏微分方程不适定问题的研究受到越来越多的关注，归因于受其他学科和众多工程技术领域的广泛应用所驱动。例如，脑电图影像、电阻抗断层、光断层扫描、炼钢炉中腐蚀面的估计等方面的应用[1]。求解不适定问题的普遍方法是：用一族与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解，这种方法称为正则化方法。如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容。通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov 正则化方法、各种迭代方法以及其它的一些正则化方法和改进方法，这些方法都是求解不适定问题的有效方法，在各类反问题的研究中被广泛运用，并得到深入研究[2]。

对于正波数的Helmholtz 方程△u+k2u=0, k ＞0 的数值解已有许多研究方法和成果[3]。纯虚波数的Helmholtz 方程△u-k2u= 0, k ＞0 称为修正的Helmholtz 方程(又称Yukawa 方程)，通常出现在半隐式时间离散的热方程中，也用来描述波的弥散、扩散问题等物理现象，国内外已有许多研究结果[4–5]。修正的Helmholtz 方程问题是一类严重的不适定问题[6]。针对此类方程Cauchy 问题的求解，目前有BEM 法[7]、Fourier 正则化方法[8]以及截断法[9]等方法。

软化方法也是求解不适定问题的一种方法，此方法用来求解不适定问题的关键是构造软化算子，很多利用软化法解决柯西问题的研究都是利用选定的核函数和测量数据做卷积，把不适定问题转化为适定问题进而求解。……