非紧致气动噪声半空间传播基本解的边界积分方法

钱振昊，贺 菲，刘秋洪

(西北工业大学 翼型叶栅空气动力学重点实验室，西安 710072)

0 引 言

声比拟理论在低马赫数流动气动噪声预测中应用广泛[1-2]。当固体边界静止且刚性时，频域声学积分方程为[3]：

其中，p′为声压，p表示单位面积固体表面作用在流体上的力，Ti j为Lighthill应力张量，x和y分别是观察点和声源，n为边界的外法线方向，G(x,y)为格林函数。如果格林函数G(x,y)满足边界条件：

那么方程(1)可简写为[4]：

这种满足声学边界条件的格林函数称为精确格林函数，是声波在空间传播的基本解，包含非紧致边界（边界的几何特征尺寸不是远小于声波波长）的声散射，从而有效简化气动声源的声学建模。通过理论解析可得到简单几何结构的精确格林函数，而对复杂非紧致边界，精确格林函数需采用数值方法获得[5-7]。

低马赫数流动噪声在半空间内的传播是气动声学领域的一个典型问题。若采用方程（3）进行噪声预测，就必须获得声波在半空间传播的基本解。当半空间边界为声学硬边界时，一般采用半空间格林函数[8]和边界元方法获取声传播基本解。在此基础上，利用Weyl-van der Pol公式[9-10]还可进一步得到阻抗半空间边界声散射的基本解，但这仅是一个工程近似处理方法。结合镜像源方法、等效源原理和边界元方法可得半空间阻抗边界声散射的基本解[11]，但需要处理奇异积分。Ochmann[12]提出复等效源方法以避免奇异积分，并采用边界元方法计算了静止均匀介质中三维球体声散射的基本解[13]。需要指出的是，Ochmann并没有采用可靠算例验证复等效源方法的正确性。

本文基于等效源方法，建立半空间二维圆柱声散射基本解的理论模型，用以验证复等效源方法的可靠性，并采用边界积分方法获得低马赫数流动气动噪声在半空间传播的基本解，考虑了均匀运动介质对声传播的影响，为复杂物理问题的工程数值解提供理论支持。

1 复等效源方法与边界积分方程

如图1（a）所示，半空间内y(y1,y2)点有一圆频率为ω的单位强度简谐单极子点声源，x(x1,x2)为观察点，声场解用Gh0(x,y)表示。声传播控制方程为Helmholtz方程：

其中，c0为声传播速度，k=ω/c0为声学波数。在半空间边界处满足边界条件：

其中，nb为半空间边界的外法线方向；γ为半空间边界的声学边界条件参数，当γ=0时为声学硬边界；对阻抗边界，一般Im(γ)＞0，Re(γ)＞0时为刚度型阻抗边界，而Re(γ)＜0时为质量型阻抗边界。

采用镜像源方法和复等效源原理考虑阻抗半空间边界的声散射问题，如图1（b）所示。镜像源和复等效源坐标分别为y′(y1,-y2)和ys(y1,-y2-si)，s∈[0,+∞)。假设声场Gh0(x,y)具有如下形式：

其中G0(x,y)、G0(x,y′)、G0(x,ys)分 别为点源y、镜像点源y′和复等效点源ys的辐射声场。

利用∂/∂nb=∂/∂x2，当观察点位于半空间边界上时x2=0，有G0(x,y)=G0(x,y′)，且有：

图1 复等效源方法示意图Fig. 1 Schematic of complex equivalent source method

将式（6、7）代入式（5），得到：

再利用关系式：

和分部积分，得：

如果a(s)G0(x,ys)|s=+∞→0，那么有：

解得：

无论对质量型半空间边界Re(γ)＜0，还是对刚度型半空间边界Re(γ)＞0有：

即a(s)G(x,ys)|s=+∞→0的假设是成立的。声场的理论解为：

如果半空间中存在表面为S的刚性散射体，观察点x处的声场积分解用GN(x,y)表示，则有：

式中，n(z)为散射体表面z点的单位外法线。采用方程（14）不需要离散镜像散射边界，只需在离散散射边界的基础上，先将观察点置于散射表面z点，采用边界元方法求得边界上的声场GN(z,y)，然后再积分计算观察点的声场GN(x,y)。

对于二维问题，假设介质均匀，且沿x轴方向以马赫数Ma运动，自由空间格林函数G0(x,y)可表示为：

式中，i 为虚数单位，H0为零阶第一类Hankel函数，

2 半空间圆柱声散射理论解

如图2所示，全空间中有两个半径为a的二维刚性圆柱C1和C2，圆心O1和分O2别位于x轴上下距离为h/2处，圆频率为ω的单位强度简谐单极子点源位于y点，x为观察点。以O1为原点建立极坐标系，声源点和观察点坐标分别为(r1y,θ1y)和(r1x,θ1x)；以O2为原点建立极坐标系，声源点和观察点坐标分别为(r2y,θ2y)和(r2x,θ2x)。产生的用Gh(x,y)表示：

其中G0(x,y)和GS(x,y)分别为声源声辐射和圆柱声散射。对于二维问题，假设介质静止均匀，有：

其中r=|x-y|。 圆柱C1和C2的声散射用gs1(x,y)和gs2(x,y)表示，并假设：

即GS(x,y)=gs1(x,y)+gs2(x,y)。Gh(x,y)在圆柱表面上满足声学硬边界条件：

图2 双圆柱声散射示意图Fig. 2 Schematic of sound scattering from two cylinders

将源点置于圆柱C1表面，可得级数展开式：

式中，Jm和Hm分 别为m阶Bessel函数和m阶第一类Hankel函数。根据Graf加法定理[14]：

可得：

将式（18、21、23）代入边界条件（20）即可得到：

将源点置于第二个圆柱 表面，可得：

将方程(24、25)改写为：

采用等效源方法将图3（a）所示的半空间圆柱声散射转化为图3（b）所示的全空间双圆柱声散射。对质量型阻抗半空间边界，镜像源和等效源坐标分别为y′(y1,-y2)和ys(y1,-y2-s)，s∈[0,+∞)。观察点声场用GA(x,y)表示，仿照复等效源方法，可得等效源方法的结果为：

同理，对刚度型阻抗半空间边界，有：

其中等效源坐标为ys(y1,-y2+s),s∈[0,+∞)。

图3 等效源方法示意图Fig. 3 Schematic of equivalent source method

3 算例验证

如图4所示，半径a=0.05 m二维圆柱位于无穷大边界上方h/2=2.0 m处，简谐单极子点源与圆柱圆心位于同一水平位置，距离圆心d=0.1 m，观察点分布在以圆柱圆心为中心、半径为12.8 m的半圆上，其中P点坐标为 (256a,2)。对静止均匀声传播介质，理论计算过程中m取 值范围为 [-50,50]以保证足够截断精度。有限区间数值积分采用四点Gauss-Legendre积分方法，半无穷区间数值积分采用五十点Gauss-Laguerre积分方法。

取γ=-5+5i， 此时半空间边界为质量型阻抗边界。图5是基于复等效源方法的边界积分数值解|GN(x,y)|和 基于等效源方法的理论解 |GA(x,y)|在空间P点随波数的变化图。在各频率下，复等效源方法和等效源方法的解吻合一致。

图4 半空间圆柱声散射算例示意图Fig. 4 Schematic of the computational cases for sound scattering from a cylinder in half-space

图5 质量型平面上方刚性圆柱声散射在P点随波数的变化Fig. 5 Wave number dependence of sound scattering from a cylinder above a mass-like impedance plane at point P

波数为20时，点源辐射声波的波长与圆柱直径的比值约为3，圆柱声学非紧致，声散射的空间指向性分布如图6所示。理论解与数值解在所有的观察点处相吻合。对刚度型半空间边界，取阻抗参数γ=5+5i。基于复等效源方法的数值解和基于等效源方法的理论解在不同波数和观察点处仍然是一致的，这里不再赘述。

图6 质量型阻抗平面上方圆柱声散射指向性分布图Fig. 6 Acoustic directivities of sound scattering from a cylinder above a mass-like impedance plane

4 半空间声传播基本解

对直径为D=0.1 m 的二维刚性圆柱，假设均匀无穷远来流沿x轴方向，马赫数Ma=0.2 ，雷诺数Re=9×104。文献[15]对该流动进行了数值模拟，得到圆柱无量纲涡脱落频率为St=0.235。圆柱绕流产生的噪声主要集中在涡脱落频率St=0.235及其一次谐波St=0.47上，分别为升力和阻力脉动对应的频率，声波的波长λ与圆柱直径D的比值分别约为24和12。

取P点为观察点，假设介质静止均匀。不考虑圆柱边界和半空间边界对声传播的影响，认为声波在全空间中自由传播，格林函数虚部Im(G0(P,y))的空间分布如图7所示。进一步考虑圆柱边界的声散射，精确格林函数虚部 Im(GN(P,y))的空间分布如图8所示。当 λ/D≈24时，圆柱表面附近声源辐射的声波仍然呈现非紧致特性。

图7 自由空间I m(GN(P,y))的空间分布Fig. 7 Distributions of I m(GN(P,y)) in free-space

从方程(3)可知，若气动声源Tij已知，噪声计算的关键就在于获得精确格林函数的空间二阶偏导数。在精确格林函数数值解的基础上，采用五点中心差分格式先求精确格林函数的空间一阶偏导数，再求二阶偏导数。图9所示为精确格林函数二阶混合偏导数虚部 Im(∂2GN(P,y)/∂y1∂y2)的空间分布。

图8 全空间I m(GN(P,y))的空间分布Fig. 8 Distributions of I m(GN(P,y)) in full-space

Im(∂2GN(P,y)/∂y1∂y2)图9 全空间 的空间分布Im(∂2GN(P,y)/∂y1∂y2)Fig. 9 Distributions of in full-space

对图4所示半空间圆柱，由于圆柱距离半空间边界足够远，可忽略半空间边界对流动的影响，认为无量纲涡脱落频率仍为St=0.235。对质量型半空间阻抗边界取 γ=-5+5i， 对刚度型半空间阻抗边界取γ=5+5i。半空间边界分别为声学硬边界、质量型阻抗边界和刚度型阻抗边界时，精确格林函数GN(P,y)的虚部在St=0.235处的空间分布如图10所示。由于半空间边界的散射作用，声场的分布与图8（a）相比存在很大不同。

图10 半空间I m(GN(P,y))在在涡脱落频率处的空间分布Fig. 10 Distributions of I m(GN(P,y)) at the vortex shedding frequency in half-space

图11为半空间边界分别为声学硬边界、质量型和刚度型阻抗边界时，精确格林函数GN(P,y)虚部的空间二阶混合偏导数 Im(∂2GN(P,y)/∂y1∂y2)在涡脱落频率一次谐波St=0.47处的空间分布。与图9（b）相比可清晰看出半空间边界的存在强化了圆柱附近声源的声辐射能力。

考虑介质运动对声传播的影响，取无穷远来流的速度为均匀介质的运动速度，即介质运动马赫数为Ma=0.2。观察点P正好在来流的下游，介质运动在这个方位上的影响最大。半空间边界分别为硬边界、质量型和刚度型阻抗边界时，精确格林函数虚部空间二阶混合偏导数 Im(∂2GN(P,y)/∂y1∂y2)在涡脱落频率一次谐波处的空间分布如图12所示。与图11相比可以发现此时介质运动对声场的影响比较小。圆柱绕流噪声的主要声源位于尾涡脱落区域，影响其噪声辐射能力的主要是圆柱边界的散射作用，而不是介质运动的对流效应。阶混合偏导数 Im(∂2GN(P,y)/∂y1∂y2)在涡脱落频率一

图11 半空间I m(∂2GN(P,y)/∂y1∂y2)在涡脱落频率一次谐波处的空间分布Fig. 11 Distributions of I m(∂2GN(P,y)/∂y1∂y2) at the first harmonic of vortex shedding frequency in half-space

图12 介质运动 Ma=0.2， 半空间I m(∂2GN(P,y)/∂y1∂y2)在涡脱落频率一次谐波处的空间分布Fig. 12 Distributions of I m(∂2GN(P,y)/∂y1∂y2) at the first harmonic of vortex shedding frequency for the medium moving at Mach number 0.2 in half-space

图13是半空间边界为声学硬边界且介质均匀运动马赫数为0.25和0.3时精确格林函数虚部空间二次谐波处的空间分布图。与图11（a）对比可发现，当介质均匀运动马赫数超过0.2时，气动声源辐射的声波特性会发生明显改变。在这种情况下，必须考虑介质运动的对流效应。

图13 介质运动Ma=0.25,0.3，半空间硬边界条件下Im(∂2GN(P,y)/∂y1∂y2)在涡脱落频率一次谐波处空间分布Fig. 13 Distributions of I m(∂2GN(P,y)/∂y1∂y2) at the first harmonic of vortex shedding frequency for the medium moving at Mach number 0.25 and 0.3 in half-space with acoustic hard-wall boundary condition

5 结 论

基于复等效源方法，建立了半空间中非紧致声传播基本解的边界积分方程，考虑了介质均匀运动对声传播的影响。同时，利用等效源方法提出了一种半空间二维非紧致圆柱声散射模型，推导了静止介质中声散射基本解的理论表达式，验证了边界积分方程基本解的正确性。

对直径0.1 m、无量纲涡脱落频率St=0.235的二维圆柱绕流噪声在半空间中传播的基本解进行预估，重点研究了涡脱落频率及其一次谐波声源的声辐射特性，结果显示：1）圆柱对涡脱落频率的声波呈现明显的非紧致特性；2）半空间边界对声传播的影响显著，能强化声源的声辐射能力；3）当流动马赫数低于0.2时，介质均匀运动对声传播的影响可以忽略。

尽管本文研究的是二维声传播问题，但复等效源方法对三维声散射问题也是有效的。在后续工作中，我们将利用边界积分方程的基本解对复杂结构的气动噪声进行预测。