关于线性子空间直和几个等价命题的证明

赵云平

【摘要】线性子空间直和理论是数学专业高等代数课程的重要内容之一，也是难点之一，其中蕴含着线性空间分解思想，其在理论上和实际上有着重要的价值.许多教材对线性子空间直和问题进行了探讨，并给出了一些重要结论，但对于子空间直和等价命题的证明却不太详细.本文以线性子空间直和的相关概念为基础，叙述了子空间直和的5个等价命题，并证明了这5个命题彼此等价.

【关键词】线性空间;子空间直和;等价命题;证明

引 言

子空间的直和是子空间和运算的一种特殊情形，是高等代数课程的重要概念之一，直和的概念强调首先是和，然后要求满足每个向量分解是唯一的.对于这种特殊的子空间和运算，用定义证明或检验直和问题有时很困难、很抽象，需要更深入地研究它的性质.本文叙述了线性子空间直和的5个等价命题，先分析各等价命题的含义及相互关系，再通过循环论证的方法加以证明.这些命题以不同形式刻画了子空间直和，为进一步认识和理解子空间直和提供了具体的模式，为高等代数中一系列重要定理提供了有力依据.学好子空间直和对研究整个子空间及研究整个线性空间的结构起到了非常重要的作用.

一、预备概念

定义1 数域K上线性空间V的一个非空子集U若对于V的加法与数量乘法也构成K上的线性空间，则称U是V的一个线性子空间，简称为子空间.

结 语

至此，子空间直和的5个等价命题得到了证明.这5个命题的描述形式虽然不同，但都刻画了子空间的直和.这样我们在解决有关子空间直和问题时，表述的方式就更加多样化了，可用等價命题互相代替.事实上，线性子空间的直和可被推广到有限多个子空间的直和，也可以推广到无限多个子空间的直和.

【参考文献】

[1]北京大学数学系前代数小组.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]张禾瑞.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]丘维声.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[4]邱森，朱林生.高等代数探究性课题集[M].武汉：武汉大学出版社，2012.

[5]姚慕生，吴泉水.高等代数学[M].上海：复旦大学出版社，2014.