关于负超几何分布期望与方差算法的注记

王炳章

(烟台大学 数学与信息科学学院，山东 烟台264005)

1 引 言

超几何分布是概率论中的一种典型的离散型分布，文献中有较多的讨论[1-3].本文将要研究的是教材中极少涉及的负超几何分布.在无放回抽样模型中，设n为产品总数而m为其中的次品数，则取到第r个次品时的抽取次数Xr的分布为

(1)

其中分布参数r;m，n都是正整数且满足1≤r≤m

于是，在有放回抽样中，取到第r个次品时的抽取次数即服从上述的帕斯卡分布(此时参数p=m/n).

文[6]中讨论的分布是本文(1)式当r=m时的特殊情况.

与帕斯卡分布类似，负超几何随机变量显然有一种通常的逐段分解方法.文[7]中利用负超几何随机变量的一种特殊的伯努利变量(0-1变量)分解法，算出了负超几何分布的期望与方差.但文[7]中给出的负超几何分布的形式比较复杂，不便导出其多维联合分布.本文首先讨论多个负超几何分布变量的联合分布及若干推论，最后利用联合分布的这些推论结合负超几何随机变量的通常的分解方法计算了负超几何分布的期望和方差.

2 负超几何变量的联合分布及若干推论

设X1，X2，…，Xr分别为第1次、第2次、…、第r次取到次品时的抽取次数.

定理1设1≤i

(2)

证利用文[8]中的不尽相异元素的排列模式，来确定m个次品的位置.

类似可以得到任意有限维的多维分布，从略.

推论1随机向量(X1，X2，…，Xr)的联合分布为

进一步，令

Y1=X1，Y2=X2-X1，Y3=X3-X2，…，Yr=Xr-Xr-1，

(3)

从而得到负超几何变量Xr的通常的逐段分解式:

Xr=Y1+Y2+…+Yr.

(4)

每一段的变量Yi(1≤i≤r)是等待一个新的次品出现所需要进行的抽取……