积分因子的一种直接求解方法

韩伟栋， 沈建和

(福建师范大学 数学与信息学院，福州350007)

1 引 言

可积性是微分方程和动力系统领域古老而重要的研究课题.微分方程的可积性，可用于揭示动力系统的轨道族及其分类，与物理的能量守恒、几何的等能量曲面和曲线等课题紧密相关.

积分因子和逆积分因子是可积性研究中的重要概念.欧拉曾试图用积分因子完全解决一阶常微分方程的求解问题[1].实际上，有关积分因子和逆积分因子的计算，至今仍是一个十分困难的问题.其原因众所周知：积分因子和逆积分因子的控制方程为偏微分方程，难以求解.所以，有关积分因子和逆积分因子的计算，通常要么针对具有特殊结构的微分方程，要么是求某些特殊形式的积分因子和逆积分因子.Cairó和Llibre[2]针对二维Lotka-Volterra(多项式)系统

研究了该系统的多项式首次积分和多项式逆积分因子的存在和计算问题.文献[3]针对形式如下的拟多项式常微分方程

研究了逆积分因子存在的充要条件，这里an(x)和bn(x)为连续可微函数.针对二维常微分方程组，文献[4]考虑具有更高维数的常微分方程组，给出了用于确定积分因子的偏微分方程组.文献[5-6]研究高阶线性常系数微分方程，给出了基于积分因子的求解方法，并与通常的特征值解法比较.文献[7]针对可分离变量的微分方程，分积分因子只与x或只与y有关两种的情况，讨论了积分因子的求解问题.

本文的目的是：通过有限次的变量替换并利用求导的……